51nod 1630(定积分 + 期望)
51nod1630
- 每个人进入竞技场后,会等概率随机匹配一个人,匹配到的人与当前胜利和失败场数无关。
- 胜利达到x场,或失败达到y场后,退出竞技场,根据退出时的胜利场数获得奖励,不能中途放弃。
- 水平高的选手,总能战胜水平低的选手,不存在水平相等的人。
- 竞技场有无穷多的人。
某人水平在所有人中等概率,等求退出的期望胜利场数。
Solution
一道妙题。
观察题目,可以发现因为有无穷多的人,所以如果当你的水平确定下来后,胜率的改变可以忽略不计,例如如果有\(n\)个人,那么你\(i\)水平的胜率就是\(\frac{i-1}{n}\)。
如果我们确定了一个胜率,这题则十分的容易在一个dp时间复杂度解决。
然而胜率可以看做是\([0,1]\)区间上的任意小数,根据定积分的思想,我们把区间分成尽量多的段数,然后取平均值作为答案。但这样的时间复杂度与精度不能同时保障。
考虑把dp看做一个多项式,一个关于胜率p的多项式,我们可以在最后把\(p\)带进去,这样时间复杂度可以通过\(n\le 10,m\le 10\)的所有数据。
在\(100\%\)的数据下,\(n,m\le 20\),此时我们需要用到定积分的求解公式,像这样:
void Doit(db a[], int win) {
db sum = 0;
F(i, 1, a[0])
sum += a[i] / i;
Ans = Ans + sum * win;
}