反向图
之前学过一些单源最短路算法，跑得非常快，但是对于SPFA这个东东，虽然它出过幺蛾子，但是在题解区发现还是很多人用，但是今天自己在做题的时候发现它还是有用，呼吁大家最好还是学学，不要有啥偏见，虽然Dijkstra确实很香。直接用例题来讲
但是本蒟蒻对于反向图的了解还并不多，如果之后学到更多的东西会继续更新
我们从一个点跑出去，然后出题人 像个睿智一样 还要再跑回起点之后才能去其他地方，这么一看，这不就是Floyd的吗，但是那个时间复杂度不敢想象，直接给你T飞
换个思路，对于每一次出去，我们跑一次单源最短路其实就够了，但是对于跑回来，我们就需要跑n次最短路，非常暴力，时间复杂度也不怎么样
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,u,v,w,tot,ans,sum[200010];
int dis[200010],vis[200010],head[200010];
priority_queue<pair<int,int> > shan;
struct node {
int to,net,val;
} e[200010];
inline void add(int u,int v,int w) {
e[++tot].val=w;
e[tot].to=v;
e[tot].net=head[u];
head[u]=tot;
}
inline void dijkstra(int s) {
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[s]=0;
shan.push(make_pair(0,s));
while(!shan.empty()) {
int x=shan.top().second;
shan.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
dis[v]=dis[x]+e[i].val;
shan.push(make_pair(-dis[v],v));
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
}
for(register int i=2;i<=n;i++) {
dijkstra(i);
ans+=dis[1];
}
dijkstra(1);
for(register int i=2;i<=n;i++) ans+=dis[i];
printf("%d",ans);
return 0;
}
只有40分，这个时候就可以建反向图啦
什么意思呢？我们对于跑出去的情况，一次最短路就够了，这个地方没什么好优化的，主要是从其他地方跑回来，这个时候就可以建反向图啦
以下是一个正常的有向图，我们将所有边反转一下（多开一倍空间单独存储），但这里不是建双向边，是有区别的，不然想都不用想肯定出错，这样我们就可以在多的那一倍空间中处理回来的情况，把从别的地方回来也改为过去，就只需要跑一次最短路。下面这个图的前一种情况就是处理其他点跑回来的情况，处理成第二种情况后就只需要跑一次，但是对于图中有双向边的情况，也要进行处理（和上面那句话区别一下）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+50;
struct node {
int to,net,w;
}e[2*MAXN];
int head[2*MAXN],tot;
void add(int u,int v,int w) {
e[++tot].to=v;
e[tot].net=head[u];
head[u]=tot;
e[tot].w=w;
}
int n,m,s;
int d[2*MAXN];
bool v[2*MAXN];
priority_queue< pair<int,int> > q;
void dij(int s){
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(v,false,sizeof v);
d[s]=0;
q.push(make_pair(0,s));
while(!q.empty()){
int x=q.top().second;
q.pop();
if(v[x]==true) continue;
v[x]=true;
for(register int i=head[x];i;i=e[i].net){
int y=e[i].to,z=e[i].w;
if(d[y]>d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
q.push(make_pair(-d[y],y));
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
add(v+n,u+n,w); //多开一倍空间处理反向边
}
dij(1);
int ans=0;
for(register int i=2;i<=n;i++) ans+=d[i]; //过去
dij(1+n);
for(register int i=n+1;i<=2*n;i++) ans+=d[i]; //回来
cout<<ans;
return 0;
}
又是一波三倍经验，爽啊！！！
SP50 INCARDS - Invitation Cards
对于反向图讲解目前就先到这里啦
鸽子被高温炖了之后回来更新了
看到题目，直接莽了一个Dijkstra最短路，然后样例直接输出2，心态爆炸。回去看题，发现有一个 路径上的所有点的出边所指向的点都直接或间接与终点连通，说明这道题我们需要加一些特殊的处理
对于以上这一张图，我们直接跑最短路会是 1->2->6 答案是2，但是因为题意，我们不能走2这个点，因为2的节点3不与6连通，所以我们只能走 1->4->5->6 答案是3。那我们怎么处理这种情况呢，我们可以反向建边，然后从终点跑，能跑的地方就先用一个ok数组赋值为true
这样之后还没有结束，我们还需要进行一次check操作，如果你的儿子节点跑不到终点，那么你也跑不到，如图，3到达不了6，那么2我们也不能走，在这里我们可以再开一个数组记录，然后跑一遍最短路就可以了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+50;
int n,m;
struct node{
int net,to,w;
}e[2*MAXN];
int head[2*MAXN],tot;
void add(int u,int v,int w){
e[++tot].net=head[u];
e[tot].to=v;
e[tot].w=w;
head[u]=tot;
}
int d[2*MAXN];
bool v[2*MAXN];
bool ok[2*MAXN];
bool en[2*MAXN];
void dfs(int s){
ok[s-n]=1; //走得到，说明可以走
int i;
for(i=head[s];i;i=e[i].net)
if(!ok[e[i].to-n])dfs(e[i].to); //继续搜
}
void check(int s){
int i;
if(ok[s]==false) en[s]=false; //走不到，说明肯定是false
else
for(i=head[s];i;i=e[i].net){
if(ok[e[i].to]==false){ //如果儿子是false，父亲肯定也是false
en[s]=false;
break;
}
}
}
int s,t;
void spfa(int s){
int i,x,y,z;
queue<int> q;
for(i=1;i<=n;i++) d[i]=20050305;
q.push(s);
d[s]=0;
v[s]=true;
while(!q.empty()){
x=q.front();
q.pop();
for(i=head[x];i;i=e[i].net){
y=e[i].to,z=e[i].w;
if(d[y]>d[x]+z&&en[y]==true){ //这个点可以用才更新最短路
d[y]=d[x]+z;
if(v[y]==false){
v[y]=true;
q.push(y);
}
}
}
v[s]=false;
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
int i;
for(i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v,1);
add(v+n,u+n,1); //开个两倍反向建边
}
scanf("%d%d",&s,&t);
dfs(t+n); //处理ok数组（不能与重点连通的点）
for(i=1;i<=n;i++) en[i]=true; //初始化
for(i=1;i<=n;i++) check(i); //再检查一次，把不能走的点标记
spfa(s); //跑最短路
if(d[t]!=20050305) cout<<d[t];
else cout<<-1;
return 0;
}
回来继续更新。。。
非常弱智，看到题目如此的简洁，题意如此的简单，果断暴力起手（算是养成一些习惯吧，考试的时候还是暴力先拿分，正解有些时候有点浪费时间），图的遍历的话，直接dfs就好了（60分）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+50;
int head[MAXN],tot;
struct node{
int net,to;
}e[MAXN];
void add(int u,int v){
e[++tot].net=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
}//链式前向星建边
int n,m;
int ans;
bool v[MAXN];
void dfs(int s){
ans=max(ans,s);//找遍历到的最大值
v[s]=true;//已经走过
for(register int i=head[s];i;i=e[i].net){
if(v[e[i].to]==false){
dfs(e[i].to); //如果没有走过继续向下遍历
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}//输入建边
for(register int i=1;i<=n;i++){
memset(v,false,sizeof v); //每一次遍历记得初始化
ans=i; //自己初始化为自己
dfs(i);//开始遍历
printf("%d ",ans);
}
return 0;
}
对于超时了的点，其实我们不难想出为什么超时，因为有些节点重复更新和遍历了，如图（非样例）：
对于下面这一种情况，我们1,2,3的答案其实都可以由4得出，因为有传递性，所以12,3能到达的节点4都可以到达，那么我们就可以反向建边了
所以对于样例，我们就可以在反向建边之后，从最大点开始处理，对于已经处理了的点，就不能继续走下去（紫色的表示得出答案的顺序），因为4,2,1都先被遍历过了，说明3不能走到4，所以3的答案就是3自己
那么程序也就很好地写出来了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+50;
int head[MAXN],tot;
int n,m,dis[MAXN];
struct node{
int net,to;
}e[MAXN];
void add(int u,int v){
e[++tot].net=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
}//链式前向星建边
bool vis[MAXN];
inline void dfs(int k){
for(register int i=head[k];i;i=e[i].net){
if(dis[e[i].to]==0&&vis[e[i].to]==false){ //如果没有被遍历过
vis[e[i].to]=true; //标记
dis[e[i].to]=dis[k]; //赋值，因为是从最大点开始遍历，之后的答案肯定就是出发时的点
dfs(e[i].to); //向下遍历
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(v,u);//注意是反向建边
}
for(register int i=n;i>=1;i--) //从最大点开始遍历
if(dis[i]==0) dis[i]=i,dfs(i); //如果没有被遍历过就从这里出发开始遍历
for(register int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
P1821 [USACO07FEB] Cow Party S
最近又开始刷最短路的题了，刚好遇到这道题，需要用到反向边
在熟悉了一些反向边的操作和应用之后，不难发现，这道题和那个邮递员送信很像，但是一些神奇的原因我最开始居然写了Floyd，所以这里我就放两个程序出来
简单好写的Floyd版
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x;
int d[1005][1005];
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=20040915;
}
d[i][i]=0;
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
d[x][y]=min(d[x][y],z);
}
for(register int k=1;k<=n;k++){
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
int ans=-1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,d[i][x]+d[x][i]);
} //跑过去，跑回来，Floyd是非常好写的
cout<<ans;
return 0;
}
正解的反向边SPFA版
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+51;
int n,m,x;
struct node{
int net,to,w;
}e[MAXN];
int head[MAXN],tot;
void add(int x,int y,int z){
e[++tot].net=head[x];
e[tot].to=y;
e[tot].w=z;
head[x]=tot;
}
int d[MAXN];
bool v[MAXN];
void spfa(int s){
d[s]=0;
v[s]=true;
deque<int>q;
q.push_front(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop_front();
v[x]=false;
for(register int i=head[x];i;i=e[i].net){
int y=e[i].to,z=e[i].w;
if(d[y]>d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
if(v[y]==false){
if(!q.empty()&&d[q.front()]<d[y]) q.push_back(y);
else q.push_front(y);
v[y]=true;
}
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
for(register int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y+n,x+n,z);
} // 1~n存正向边，n+1~n+n 存反向边
for(register int i=1;i<=2*n;i++) d[i]=20040915;
spfa(x); //跑过去
spfa(x+n); //跑回来
int ans=-1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,d[i]+d[i+n]); //记得是取最值
}
cout<<ans;
return 0;
}
