CodeForces 1178G: The Awesomest Vertex
题目传送门：CF1178G。
题意简述：
一棵 \(n\)（\(1\le n\le 2\times 10^5\)）个点的有根树，第 \(i\) 个点有 \(a_i\) 和 \(b_i\) 两个属性，初始时保证 \(|a_i|,|b_i|\le 5000\)。
定义第 \(i\) 个点的祖先节点（包括其本身）集合为 \(R(i)\)。
第 \(v\) 个点的权值定义为 \(\displaystyle\left|\sum_{w\in R(v)}a_w\right|\times\left|\sum_{w\in R(v)}b_w\right|\)。
执行 \(q\)（\(1\le q\le 10^5\)）次操作，每个操作为如下两种操作之一：
-
给定 \(u,x\)（\(1\le u\le n\)，\(1\le x\le 5000\)）：将 \(a_u\) 增加 \(x\)。
-
给定 \(u\)（\(1\le u\le n\)）：输出 \(u\) 的子树中的最大权值。
题解：
定义第 \(i\) 个点的子树内的节点（包括其本身）集合为 \(S(i)\)。
注意到 \(b_i\) 始终不会变化，不妨令 \(\displaystyle\beta_u=\left|\sum_{v\in R(u)}b_v\right|\)，注意 \(\beta_i\) 是非负数；再令 \(\displaystyle\alpha_u=\sum_{v\in R(u)}a_v\)。
考虑化简操作 2，要求的即是 \(\displaystyle\max_{v\in S(u)}\{|\alpha_v|\times\beta_v\}\)。
因为 \(\beta_i\) 是非负数，所以进一步化简为 \(\displaystyle\max\left\{\max_{v\in S(u)}\{\alpha_v\beta_v\},-\min_{v\in S(u)}\{\alpha_v\beta_v\}\right\}\)。
需要维护区间中 \(\alpha_i\beta_i\) 的最大值和最小值，其中 \(\beta_i\) 为固定的非负数，要支持区间 \(\alpha_i\) 加一个正数。
这是经典问题，考虑分块，每个块内只需支持全局加 \(k\beta_i\) 和查询全局最大最小值即可。
转化为维护上下凸壳，询问时用斜率递减的直线去切凸壳，可以使用单调队列直接维护，非整块修改时重构上下凸壳即可。
下面是代码，实现时要注意卡常，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n+q\sqrt{n})\)：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
typedef long long LL;
typedef double db;
const int MN = 200005;
const int MB = 1345;
inline void ckmax(LL &x, const LL &y) { x = x < y ? y : x; }
inline LL Abs(const LL &x) { return x < 0 ? -x : x; }
int N, Q, faz[MN], A[MN], B[MN];
std::vector<int> G[MN];
LL X[MN], Y[MN];
int ldf[MN], rdf[MN], dfc;
void DFS(int u) {
int id = ldf[u] = ++dfc;
X[id] = X[ldf[faz[u]]] + B[u];
Y[id] = Y[ldf[faz[u]]] + A[u];
for (auto v : G[u]) DFS(v);
X[id] = Abs(X[id]);
Y[id] *= X[id];
rdf[u] = dfc;
}
int S, T, bel[MN], lb[MB], rb[MB], lenk[MB];
int _id[MN], *idk[MB];
int _que1[MN], *que1k[MB], ql1[MB], qr1[MB];
int _que2[MN], *que2k[MB], ql2[MB], qr2[MB];
int rk[MB], tag[MB];
LL ans[MB];
inline db Slope(const int &i, const int &j) {
if (X[i] == X[j]) {
if (Y[i] == Y[j]) return 0;
else if (Y[i] < Y[j]) return 1e99;
else return -1e99;
}
return (db)(Y[j] - Y[i]) / (X[j] - X[i]);
}
inline void Flush(const int &k) {
if (!tag[k]) return ;
int *que1 = que1k[k], *que2 = que2k[k];
int &l1 = ql1[k], &r1 = qr1[k];
int &l2 = ql2[k], &r2 = qr2[k];
while (l1 < r1 && Slope(que1[l1], que1[l1 + 1]) > -rk[k]) ++l1;
while (l2 < r2 && Slope(que2[r2 - 1], que2[r2]) > -rk[k]) --r2;
int p1 = que1[l1], p2 = que2[r2];
ans[k] = std::max(Y[p1] + rk[k] * X[p1], -Y[p2] - rk[k] * X[p2]);
tag[k] = 0;
}
inline void ReBuild(const int &k) {
int *id = idk[k], *que1 = que1k[k], *que2 = que2k[k];
int &l1 = ql1[k], &r1 = qr1[k];
int &l2 = ql2[k], &r2 = qr2[k];
l1 = l2 = 1, r1 = r2 = 0;
for (int I = 1; I <= lenk[k]; ++I) {
int i = id[I];
while (l1 < r1 && Slope(que1[r1 - 1], que1[r1]) < Slope(que1[r1], i)) --r1;
while (l2 < r2 && Slope(que2[r2 - 1], que2[r2]) > Slope(que2[r2], i)) --r2;
que1[++r1] = i, que2[++r2] = i;
}
tag[k] = 1, Flush(k);
}
int main() {
scanf("%d%d", &N, &Q);
for (int i = 2; i <= N; ++i)
scanf("%d", &faz[i]),
G[faz[i]].push_back(i);
for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%d", &A[i]);
for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%d", &B[i]);
DFS(1);
S = 150, T = (N - 1) / S + 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i) bel[i] = (i - 1) / S + 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i) _id[i] = i;
for (int i = 1; i <= T; ++i) {
lb[i] = (i - 1) * S + 1;
rb[i] = std::min(i * S, N);
lenk[i] = rb[i] - lb[i] + 1;
idk[i] = _id + lb[i] - 1;
que1k[i] = _que1 + lb[i] - 1;
que2k[i] = _que2 + lb[i] - 1;
auto cmp = [](int i, int j) { return X[i] < X[j]; };
std::sort(idk[i] + 1, idk[i] + lenk[i] + 1, cmp);
ReBuild(i);
}
while (Q--) {
int op, u;
scanf("%d%d", &op, &u);
int l = ldf[u], r = rdf[u];
int bl = bel[l], br = bel[r];
if (op == 1) {
int val;
scanf("%d", &val);
if (bl < br) {
for (int i = l; i <= rb[bl]; ++i) Y[i] += val * X[i];
for (int i = lb[br]; i <= r; ++i) Y[i] += val * X[i];
ReBuild(bl), ReBuild(br);
for (int k = bl + 1; k < br; ++k) rk[k] += val, tag[k] = 1;
}
else {
for (int i = l; i <= r; ++i) Y[i] += val * X[i];
ReBuild(bl);
}
}
if (op == 2) {
LL Ans = 0;
if (bl < br) {
for (int i = l; i <= rb[bl]; ++i) ckmax(Ans, Abs(Y[i] + rk[bl] * X[i]));
for (int i = lb[br]; i <= r; ++i) ckmax(Ans, Abs(Y[i] + rk[br] * X[i]));
for (int k = bl + 1; k < br; ++k) Flush(k), ckmax(Ans, ans[k]);
}
else for (int i = l; i <= r; ++i) ckmax(Ans, Abs(Y[i] + rk[bl] * X[i]));
printf("%lld\n", Ans);
}
}
return 0;
}
