【bzoj题解】2186 莎拉公主的困惑

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题意：求\([1,n!]\)中与\(m!\)互质的数的个数，对质数\(R\)取模，\(n\geq m\)。

答案应该等于\(\frac{n!}{m!}\phi(m!)=\frac{n!}{m!}m!\prod_{p|m!}\frac{p-1}{p}=n!\frac{\prod_{p\leq m}\,p-1}{\prod_{p\leq m}\,p}\)。

这里\(p\)为小于等于\(m\)的质数。

所以我们处理出阶乘，以及质数的乘积和对\(R\)的逆元就能得出答案。

你真的这么想？

naive！simple！

如果\(n\geq R\)，答案一定为\(0\)吗？

可以看看这组数据：

1 3
4 3

答案为\(2\)，因为\(8\,mod\,3=2\)。

但是\(4!\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}\)呢？\(4!=24\)，而\(24\,mod\,3=0\)，但是答案非\(0\)。

正确的做法是什么？

当\(n\geq R\)时，如果\(m\geq R\)的话，\(n!\)中的因子\(R\)就有可能被分母消掉，我们应该要对\(n\geq R\)的\(n!\)消掉一个\(R\)，对\(m\geq R\)的分母也消掉一个\(R\)。

这样就不会有问题了。

代码如下：

#include<cstdio>
#define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
int T,Mod,n,m;
int primes[664580], pnum=0;
bool isn_prime[10000001];
int pi[664580],inv[10000001];
int in[664580],fct[10000001];
int pos[10000001];
void init(){
    isn_prime[0]=isn_prime[1]=1;
    F(i,2,10000000){
        if(!isn_prime[i]) primes[++pnum]=i;
        for(int j=1;j<=pnum&&primes[j]*i<=10000000;++j){
            isn_prime[primes[j]*i]=1;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
    inv[1]=1; for(int i=2;i<Mod&&i<=10000000;++i)
        inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
    pi[0]=1; F(i,1,pnum) pi[i]=1ll*pi[i-1]*(primes[i]-1)%Mod;
    in[0]=1; F(i,1,pnum) if(primes[i]!=Mod) in[i]=1ll*in[i-1]*inv[primes[i]%Mod]%Mod; else in[i]=in[i-1];
    fct[0]=1; F(i,1,10000000) if(i!=Mod) fct[i]=1ll*fct[i-1]*i%Mod; else fct[i]=fct[i-1];
    F(i,2,10000000) if(isn_prime[i]) pos[i]=pos[i-1]; else pos[i]=pos[i-1]+1; 
}
int main(){
    scanf("%d%d",&T,&Mod);
    init();
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>=Mod&&m<Mod) puts("0");
        else printf("%d\n",1ll*fct[n]*pi[pos[m]]%Mod*in[pos[m]]%Mod);
    }
    return 0;
}