【loj2552】【CTSC2018】假面
题目
有\(n\)个敌方单位,初始生命值分别为\(m_1,\cdots,m_n\) ;
假面可以释放\(Q\)个技能:
$op = 0 \ , \ id , u , v $ 表示对\(id\)号敌人有\(\frac{u}{v}\)的概率造成\(1\)点伤害;
$op = 1 \ , \ k \ , \ a_1,\cdots a_k $ 表示在这些位置中生命值为正的位置里随机选择一个位置释放结界;
你需要对每个\(op=1\),输出\(a_1,\cdots, \ a_k\)中结界的期望(\(op=1\)操作最多\(C\)次);
$n \le 200 \ , \ Q \le 200000 \ , \ C \le 1000 ,m_i \le 100 $ ;
题解
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Part 1
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设\(f_{i,j}\)表示\(i\)受到的伤害为\(j\)的概率,设\(x=\frac{u}{v}\),则\(f_{i,j} = x \times f_{i,j-1} + (1-x) \times f_{i,j}\)
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\(p_i\)表示\(i\)号敌人存活的概率,$p_i \ = \ \sum_{j=0}^{m_i-1} f_{i,j} $
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剩余生命的期望\(q_i = \sum_{j=0}^{m_i-1}f_{i,j} \times (m_i-j)\)
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**Part 2 **
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把所有\(a_i\)拎出来讨论,设存活概率为\(p_i\) , \(g_{i,j}\)表示不算第\(i\)个敌人,存活的个数为\(j\)的概率,\(G_j\)表示所有人都算上存活个数为\(j\)的概率,一个人对于\(G\)的贡献是:
$G_{j} = p_i \times G_{j-1} \ + \ (1-p_i) \times G_{j} $
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这个式子是可逆的,即:
\[\begin{cases} g_{i,j} &= \frac{G_j - p_i \times g_{i,j-1}}{1-p_i} & p_i != 1 \\ g_{i,j} &= G_{j+1} & p_i==1 \end{cases} \] -
时间复杂度:\(O(QM\ + \ nMC)\)
#include<bits/stdc++.h> #define vec vector<int> #define pb push_back #define mod 998244353 #define ll long long using namespace std; const int N=810; int n,m,a[N],b[N],f[N][N],tot,ny[N],p[N],g[N],t[N]; char gc(){ static char*p1,*p2,s[1000000]; if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin); return(p1==p2)?EOF:*p1++; } int rd(){ int x=0;char c=gc(); while(c<'0'||c>'9')c=gc(); while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc(); return x; } int pw(int x,int y){ int re=1; if(y<0)y+=mod-1; while(y){ if(y&1)re=(ll)re*x%mod; y>>=1;x=(ll)x*x%mod; } return re; } void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;} void solve(){ for(int i=1;i<=tot;++i)g[i]=0;g[0]=1; for(int i=1;i<=tot;++i){ int x=b[i],y=(mod+1-x)%mod; for(int j=tot;~j;--j){ g[j]=(ll)g[j]*y%mod; if(j)inc(g[j],(ll)g[j-1]*x%mod); } } for(int j=0;j<=tot;++j)t[j]=g[j]; for(int i=1;i<=tot;++i){ int re=0,x=b[i],y=pw((mod+1-x)%mod,mod-2); if(x==1){for(int j=0;j<tot;++j)g[j]=g[j+1];g[tot]=0;} else{ g[0]=(ll)g[0]*y%mod; for(int j=1;j<=tot;++j)g[j]=(g[j]-(ll)g[j-1]*x%mod+mod)%mod*y%mod; } for(int j=0;j<=tot;++j){ inc(re,(ll)ny[j+1]*b[i]%mod*g[j]%mod); g[j]=t[j]; } printf("%d ",re); } puts(""); } int main(){ // freopen("faceless.in","r",stdin); // freopen("faceless.out","w",stdout); n=rd(); for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=rd(),f[i][0]=p[i]=1; ny[1]=1;for(int i=2;i<=n<<2;++i)ny[i]=1ll*(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod; m=rd(); for(int i=1;i<=m;++i){ int op,id,x,y; op=rd(); if(!op){ id=rd();x=rd();y=rd(); x=(ll)x*pw(y,mod-2)%mod; y=(mod+1-x)%mod;p[id]=0; for(int j=a[id]-1;~j;--j){ f[id][j]=(ll)f[id][j]*y%mod; if(j)inc(f[id][j],(ll)f[id][j-1]*x%mod); inc(p[id],f[id][j]); } }else { tot=rd(); for(int j=1;j<=tot;++j)b[j]=p[rd()]; solve(); } } for(int i=1;i<=n;++i){ int x=0; for(int j=0;j<a[i];++j)inc(x,(ll)(a[i]-j)*f[i][j]%mod); printf("%d ",x); } return 0; }