牛客小白月赛112——E智乃的“凑数”题（Easy Version & Hard Version）

题目

智乃的“凑数”题（Easy Version）
智乃的“凑数”题（Hard Version）

题解(Easy版)

题目分析

对于每个行单元格和列单元格的数字相乘再相加，我们可以对这个公式进行化简，最后得到的就是行和\(\times\)列和。那么题目就相当于要求在一个给定的整数数组 ( \(k_1\), \(k_2\), ..., \(k_n\) ) 中，找出一个元素子集，将其划分成两个部分，使得两部分的元素和分别形成行和和列和，使得它们的乘积等于一个查询值x。如果存在这样的划分，则输出其中一种方案，否则输出 "No"。

换句话说，我们需要判断能否将数组元素划分为两部分，使得：

其中一部分的元素和为 a，另一部分的元素和为 b，且a \(\times\) b = x。
我们只需要找到一种可行的划分方案。

解题思路

本题本质上是一个 二维的 0/1 背包问题：

令 f[x][y] 表示是否能通过某些元素的组合形成 x 和 y。
递推时，如果 f[x-k[i]][y] 为真，则 f[x][y] 也为真；同理，如果 f[x][y-k[i]] 为真，则 f[x][y] 也为真。
我们还需要使用 pre[x][y] 记录转移来源，以便回溯输出具体的方案。

状态转移

初始化 f[0][0] = true，表示空集合可以形成 0,0 这个状态。
枚举每个元素 k[i]，尝试将它放入两个集合之一：
- 如果 x >= k[i] 并且 f[x-k[i]][y] = true，则 f[x][y] = true，且 pre[x][y] = k[i]，表示 x 由 x-k[i] 变过来。
- 如果 y >= k[i] 并且 f[x][y-k[i]] = true，则 f[x][y] = true，且 pre[x][y] = -k[i]，表示 y 由 y-k[i] 变过来。

查询部分

对于每个查询值 x，我们要找到两个正整数 a, b 使得 a × b = x。
枚举 a，让 b = x / a，并检查 f[a][b] 是否为 true。
如果存在 f[a][b]，则回溯输出 a 和 b 是如何由数组 k 组合得到的。

复杂度分析

预处理 f[x][y] 使用 二维背包动态规划，时间复杂度为 O(n \(\times\) 100 \(\times\) 100)。
每次查询需要遍历 sqrt(x) 个因子，每个因子最多回溯 n 次，时间复杂度为 O(\(\sqrt{x}\) \(\times\) n)。
由于 n, m <= 100，最坏情况下可达 O(10⁶)，是可以接受的。

总结

该题本质上是 0/1 背包问题的变形，需要使用 二维动态规划 记录可行的 (a, b) 组合。
预处理 f[x][y] 后，可以 快速查询 是否存在符合 a × b = x 的划分方案，并 回溯输出方案。
在n,m <= 100范围内能高效运行，但是对于hard就不能运行了。

参考代码(Easy版)

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int k[N],pre[N][N];
bool f[N][N];
void query(int n){   
    for(int i = 1; i <= sqrt(n); i ++){
        if(n % i) continue;
        int x = i, y = n / i;
        if(f[x][y]){
            puts("Yes");
            vector<int> vx,vy;
            while(x || y){
                if(pre[x][y] > 0){
                    vx.emplace_back(pre[x][y]);                
                    x -= pre[x][y];
                }else{
                    vy.emplace_back(-pre[x][y]);
                    y += pre[x][y];
                }
            }
            cout << vx.size() << " " << vy.size() << endl;
            for(auto x : vx) cout << x << " ";
            puts("");
            for(auto y : vy) cout << y << " ";
            puts("");
            return;
        }
    }
    puts("No");
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> k[i];
    f[0][0] = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int x = 100; x >= 0; x --){
            for(int y = 100; y >= 0; y --){
                if(f[x][y]) continue;
                if(x >= k[i] && f[x - k[i]][y]){
                    f[x][y] = true;
                    pre[x][y] = k[i];
                }else if(y >= k[i] && f[x][y - k[i]]){
                    f[x][y] = true;
                    pre[x][y] = -k[i];
                }
            }
        }
    }
    while(m --){
        int x;
        cin >> x;
        query(x);
    }
    return 0;
}

题解(Hard版)

hard中数据较大，可以使用一维去映射二维数组，那样子空间只要二维的一半，牛客的空间优化较好，二维状态下也能过。

参考代码(Hard版)

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n, m;
int k[N],pre[N][N];
bool f[N][N];
void query(int n){   
    for(int i = 1; i <= sqrt(n); i ++){
        if(n % i) continue;
        int x = i, y = n / i;
        if(f[x][y]){
            puts("Yes");
            vector<int> vx,vy;
            while(x || y){
                if(pre[x][y] > 0){
                    vx.emplace_back(pre[x][y]);                
                    x -= pre[x][y];
                }else{
                    vy.emplace_back(-pre[x][y]);
                    y += pre[x][y];
                }
            }
            cout << vx.size() << " " << vy.size() << endl;
            for(auto x : vx) cout << x << " ";
            puts("");
            for(auto y : vy) cout << y << " ";
            puts("");
            return;
        }
    }
    puts("No");
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> k[i];
    f[0][0] = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int x = 10000; x >= 0; x --){
            for(int y = (x?10000/x:10000); y >= 0; y --){
                if(f[x][y]) continue;
                if(x >= k[i] && f[x - k[i]][y]){
                    f[x][y] = true;
                    pre[x][y] = k[i];
                }else if(y >= k[i] && f[x][y - k[i]]){
                    f[x][y] = true;
                    pre[x][y] = -k[i];
                }
            }
        }
    }
    while(m --){
        int x;
        cin >> x;
        query(x);
    }
    return 0;
}

posted @ 2025-03-25 16:30 PZnwbh 阅读(41) 评论(0) 收藏举报

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