每日一题——IncDec Sequence

题目

IncDec Sequence

题解

差分解决一段区域同时增加或减少的问题
给区间【L，R】上都加上一个常数c，则b[L] += c , b[R + 1] -=c

求出a的差分序列b，其中b1 = a1,b(i) = a(i) - a(i - 1) (2 <= i <= n)。令b(n + 1) = 0，题目对序列a的操作，相当于每次可以选出b1,b2…b(n + 1)中的任意两个数，一个加1，另外一个减一。目标是把b2,b3,…bn变为全0。最终得到的数列a就是由 n 个 b1 构成的

任选两个数的方法可分为四类
1、2 <= i , j <=n（优先）
2、i = 1, 2 <=j <=n
3、2 <= i <= n , j = n + 1
4、i = 1, j = n + 1（没有意义）

设b2,b3....bn中正数总和为p，负数总和的绝对值为q。首先以正负数匹配的方式尽量执行1类操作，可执行min(p,q)次。剩余|p - q|个为匹对，每个可以选与b1或b(n + 1)匹配，即执行2 或 3 类操作，共需|p - q|次

综上所诉，最少操作次数为min(p,q) + |p - q|。根据|p - q|次第2、3类操作的选择情况，能产生|p - q| + 1中不同的b1的值，即最终得到的序列a可能有|p - q| + 1 种

参考代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;
int n;
int a[N];
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for(int i = n; i > 1; i --) a[i] -= a[i - 1];
    LL pos = 0, neg = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(a[i] > 0) pos += a[i];
        else neg -= a[i];
    }
    cout << min(pos, neg) + abs(pos - neg) << endl;
    cout << abs(pos - neg) + 1 << endl;
    return 0;
}