贝祖定理:对于任意整数a,b，存在一对整数x,y,满足\(ax+by=gcd(a,b)\).
以下证明中的[ ]是向下取整的意思(主要是我不会打向下取整的符号)
证明：数学归纳法.在欧几里得算法最后一步中，即b=0时，显然有一对整数x=1,y=0，使得\(a*1+0*0=gcd(a,0)\);若b>0，则\(gcd(a,b)=gcd(b,a\mod b)\).假设存在一对整数x，y，满足\(b*x+(a \mod b)*y=gcd(b,a \mod b)\),因为\(bx+(a \mod b)y=bx+(a-b[a/b])y\),继续整理式子得\(ay+b(x-[a/b]y)\),所以令\(x'=y\)，\(y'=x-[a/b]y\)，就得到了\(ax'+by'=gcd(a,b)\).因为x'和y'一定都是整数,所以定理是成立的.
根据上述定理和证明,有扩展欧几里得算法:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
return d;
}
还有一种写得更多的写法,个人认为更好理解:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return d;
}
拓展:
对于更一般的方程\(ax+by=c\),它有解当且仅当\(gcd(a,b)|c\).
令\(d=gcd(a,b)\),我们可以先用扩展欧几里得求出\(ax+by=d\)的一组特解\(x_0\)、\(y_0\),然后令\(x_0\),\(y_0\)同时乘上\(c/d\)，就得到方程\(ax+by=c\)的一组特解\((c/d)*x_0\),\((c/d)*y_0\),所以通解就是\((c/d)*x_0+k*(b/d)\),\((c/d)*y_0+k*(a/d)\),其中k是整数.
扩展欧几里得算法有一个常见的应用:求解线性同余方程.
给定整数a,b,m,求一个整数x满足\(a*x ≡ b(\mod m)\)，或者给出无解.因为未知数的指数为1，所以称为一次同余方程，也称线性同余方程.
\(a*x ≡ b(\mod m)\) 方程可以改写为\(a*x+m*y=b\).这就回到了上面的拓展内容.
