算法详解（〇）--算法性能指标

本篇文章是这个专栏的第一篇文章，主要介绍一个这个专栏，同时介绍学习使用算法的分析指标。

专栏目的

不管是社招还是校招，数据结构与算法都是面试中非常高频的考点。而排序算法整体难度适中，很适合手写，所以有不少面试官都喜欢让人手写各种排序算法，并进行分析。同时在实际的开发任务中，排序也是很重要的一环。所以学习、分析算法是程序员非常重要的一课。

时间复杂度

时间复杂度

时间复杂度一般用大O表示，具体的概念就不展开细说了，这里说三个使用的分析方法：

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码。 比如下面这段求和代码只要关注for循环中的求和计算，也就是n次循环，两个变量的赋值是常数级的，对n不会有质的改变，所以复杂度为O(n)

 fun(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; i++) {
     sum = sum + i;
   }
 }

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。比如一段代码中有一个n层循环和一个 n*n 层循环，这时时间复杂度是O(n²)，而不是O(n²+n)，因为n²和n不是一个量级的，我们只要关注量级大的即可

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。举个栗子，假设函数A fun_a()的时间复杂度是O(n)，函数B fun_b() 在一个m层循环中调用了函数A，那么函数B的时间复杂度就是O(n*m)，若m=n就是O(n²)

最好、最坏情况时间复杂度

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行代码的时间复杂度。比如说在一组数中查找某个数，在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。

同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。同样是查找一个数，如果数组中没有要查找的变量 x，或者他刚好在数组末尾，这时我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。

平均情况时间复杂度

最好和最坏情况时间复杂度都是比较极端的情况，我们当然不能直接拿他们来衡量算法的整体情况，这时就可以采用平均情况时间复杂度来表示。我们以数组查找为例，简单介绍平均复杂度的计算。
要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。将每种情况的遍历次数乘以对应的概率再累加，结果为(3n+1)/4，也就是O(n)。
除了平均时间复杂度，还有均摊时间复杂度，实际应用较少，有兴趣可以自行研究一下。

空间复杂度

空间复杂度和时间复杂度的概念类似，但是要简单一些，因为常见的空间复杂度只有O(1)，O(n)，O(n²)，而常见的时间复杂度除了这三个还有O(log n),O(n*log n)等较复杂的情况。这里就不详细说明空间复杂度了，一般都可以较简单的分辨出来。

排序算法的执行效率

算法的时间复杂度和空间复杂度时衡量算法的重要指标，对于排序算法，我们还可以有更加细致的分析，来确定排序算法的性能。

1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度

我们在分析排序算法的时间复杂度时，要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。除此之外，你还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。
为什么要区分这三种时间复杂度呢？第一，有些排序算法会区分，为了好对比，所以我们最好都做一下区分。第二，对于要排序的数据，有的接近有序，有的完全无序。有序度不同的数据，对于排序的执行时间肯定是有影响的，我们要知道排序算法在不同数据下的性能表现。

2. 时间复杂度的系数、常数 、低阶

我们知道，时间复杂度反映的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中，我们排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。

3. 比较次数和交换（或移动）次数

基于比较的排序算法的执行过程，会涉及两种操作，一种是元素比较大小，另一种是元素交换或移动。所以，如果我们在分析排序算法的执行效率的时候，应该把比较次数和交换（或移动）次数也考虑进去。

排序算法的内存消耗

前面讲过，算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量，排序算法也不例外。不过，针对排序算法的空间复杂度，我们还引入了一个新的概念，原地排序（Sorted in place）。原地排序算法，就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法，也就是不需要额外的空间即可完成数据的排序。

排序算法的稳定性

仅仅用执行效率和内存消耗来衡量排序算法的好坏是不够的。针对排序算法，我们还有一个重要的度量指标，稳定性。这个概念是说，如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。我通过一个例子来解释一下。比如我们有一组数据 2，9，3，4，8，3，按照大小排序之后就是 2，3，3，4，8，9。这组数据里有两个 3。经过某种排序算法排序之后，如果两个 3 的前后顺序没有改变，那我们就把这种排序算法叫作稳定的排序算法；如果前后顺序发生变化，那对应的排序算法就叫作不稳定的排序算法。
稳定排序算法在某些场景有很大的用处，比如，给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性，一个是下单时间，另一个是订单金额。如果我们现在有 10 万条订单数据，我们希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单，我们希望按照下单时间从早到晚有序。这时就可以通过先对时间排序，再用稳定排序对金额排序，可以很方便完成这一要求。