博弈论与 SG 函数

介绍

玩游戏。

小性质

• 对于一个状态，如果没有后继状态，该状态必输。
• 对于一个状态，如果该状态后有一个必输状态，则该状态为必赢状态。
• 对于一个状态，如果该状态后全为必赢状态，则该状态为必输状态。

Nim 游戏

考虑这样一个游戏，有 \(n\) 石子，每堆有 \(a_{i}\) 个石子，两个人轮流拿石子，不能操作的人输。若两个人都采用最优策略，先手必赢还是必输。

首先可以构造状态图对吧，这样时间复杂度是 \(O(\prod_{i=1}^{n} a_{i})\)。

考虑优化。

先给出结论，当所有数异或和为 \(0\) 先手必胜，否则必输。

证明：

对于异或和不为 \(0\) 的一个状态，设它的异或和为 \(k\)，可以将一个 \(a_{i}\) 异或 \(k\) 使得下个状态的异或和为 \(0\)。这样的操作总是可行的，设 \(k\) 的最高位是 \(p\)，则 \(p\) 在每堆石子的个数中至少出现了一次，那么考虑将他异或 \(k\)，这样他的最高位就变成 \(0\) 了对吧，有 \(a_{x} \oplus k < a_{x}\)。

考虑异或为 \(0\)，那么对于任意一个上述操作都是不合法的。

所以此时异或为 \(0\) 只能转移到异或不为 \(0\)，异或不为 \(0\) 都可以直接转移到异或为 \(0\)。而异或为 \(0\) 为必输状态，所以得证。

SG 函数

好用！考虑改一个状态定义它的值，即为 \(SG(x)\)。具体是怎么计算的的呢？\(SG(x)=mex\{SG(后继状态)\}\)，\(mex\) 运算为不在集合中的最小非负整数。因为汇点没有后继状态，所以汇点的 \(SG\) 值为 \(0\)。同样可知，任何 \(SG(x)\ne 0\) 的 \(x\) 点因为后继状态有 \(SG(x)=0\) 的，所以为必赢，所有 \(SG(x)=0\) 的都必输，因为所有后继节点都有 \(SG(x) < 0\)。递归的一层一层理解即可。

考虑同时有多个 \(SG\) 状态，如何表示整个游戏的输赢呢？由于每个 \(SG(x)-1\) 到 \(0\) 的值都是 \(x\) 点的后继，当 \(SG(x)=0\) 时必输，所以变成了一个 Nim 游戏，当无法变换 \(SG\) 时算输，每次操作相当于减去 \(SG\) 的一些值。 所以当 \(SG(x)\) 的异或和为 \(0\) 时，先手必败，否则先手必胜。

这便是博弈。