平方和公式推导

补小学奥数留下的锅

平方和公式：\(\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n\times(2n+1)\times(n+1)}{6}\)

证明：

首先对每个平方进行拆项 ：
\(1^2=1\)
\(2^2=1+3\)
\(3^2=1+3+5\)
……
\(n^2=1+3+5+...+(2n-1)\)
然后两边相加

\[\sum_{i=1}^ni^2=(1\times n+3\times (n-1)+5\times (n-2)+...+(2(n-1)-1)\times 2+(2n-1)\times 1) \]

\[=(1+3+5+...+(2n-1))\times n-(0\times 1+1\times 3+2\times 5+...+(n-1)\times (2n-1)) \]

\[=n^2\times n-\sum_{i=1}^n(i-1)\times (2i-1) \]

把后面的式子变形拆开，有

\[=n^2\times n-\sum_{i=1}^n(i-1)\times (2\times (i-1)+1) \]

\[=n^2\times n-2\times \sum_{i=1}^n(i-1)^2-\sum_{i=1}^n(i-1) \]

然后直接不太好做，有一个显然的引理：

\[\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=1}^n(i-1)^2=n^2 \]

移项得到：

\[\sum_{i=1}^ni^2=\sum_{i=1}^n(i-1)^2+n^2 \]

那么把这个式子乘\(2\)再加到原来的式子上，把原来的\(\sum\)消掉，就有

\[3\times \sum_{i=1}^ni^2=n^3+2n^2-\frac{n(n-1)}{2} \]

最后把右面通分化简，就得到了

\[\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n\times(2n+1)\times(n+1)}{6} \]