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[NOIP2003 提高组] 加分二叉树

题目描述

设一个 \(n\) 个节点的二叉树 \(\text{tree}\) 的中序遍历为\((1,2,3,\ldots,n)\)，其中数字 \(1,2,3,\ldots,n\) 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 \(i\) 个节点的分数为 \(d_i\)，\(\text{tree}\) 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 \(\text{subtree}\)（也包含 \(\text{tree}\) 本身）的加分计算方法如下：

\(\text{subtree}\) 的左子树的加分 \(\times\) \(\text{subtree}\) 的右子树的加分 \(+\) \(\text{subtree}\) 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 \(1\)，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 \((1,2,3,\ldots,n)\) 且加分最高的二叉树 \(\text{tree}\)。要求输出

1. \(\text{tree}\) 的最高加分。

2. \(\text{tree}\) 的前序遍历。

输入格式

第 \(1\) 行 \(1\) 个整数 \(n\)，为节点个数。

第 \(2\) 行 \(n\) 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 \(1\) 行 \(1\) 个整数，为最高加分（$ Ans \le 4,000,000,000$）。

第 \(2\) 行 \(n\) 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例 #1

样例输入 #1

5
5 7 1 2 10

样例输出 #1

145
3 1 2 4 5

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 \(1 \leq n< 30\)，节点的分数是小于 \(100\) 的正整数，答案不超过 \(4 \times 10^9\)。

根据中序遍历我们能得到什么？
根左边是左子树 右边是右子树 所以这题区间DP转移就很明显了
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k-1]*f[k+1][r]+f[k][k])然后记录取到最大值的k即可
注意初始化:f[i][i]=a[i],f[i][i-1]=1!

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
int n,a[35],f[35][35],jl[35][35];
void out(int l,int r)
{
	if(l>r)return ;
	if(l==r)
	{
		cout<<l<<" ";
		return ;
	}
	cout<<jl[l][r]<<" ";
	out(l,jl[l][r]-1);
	out(jl[l][r]+1,r);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],f[i][i]=a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i-1]=1;
	for(int l=1;l<=n;l++)
		for(int i=1;i+l-1<=n;i++)
		{
			int j=i+l-1;
			for(int k=i;k<j;k++)
				if(f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k]>f[i][j])
				{
					f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];
					jl[i][j]=k;
				}
		}
	cout<<f[1][n]<<"\n";
	out(1,n);
	return 0;
}