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[NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，\(1,2,\ldots ,n\)（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 \(n\)。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 \(n\)，计算并输出由操作数序列 \(1,2,\ldots,n\) 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 \(n\)（\(1 \leq n \leq 18\)）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

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这题的递推其实很有意思
考察现在待入栈的元素是第k个
那么由栈的LIFO原则 它前面有k-1个元素要先出栈
后面有n-k个元素要后出栈
则f[n]+=f[k-1]*f[n-k]这就是卡特兰数

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n;
int f[20];
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	f[0]=1;
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=i-1;j++)
			f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
	}
	cout<<f[n]<<"\n";
	return 0;
}