树链剖分中的一些性质与证明

一.重链剖分

1.树上每条路径最多可以拆分成不超过\(O(log_{2}n)\)条重链

证明：从一个节点若走到一个轻儿子上，那么轻儿子的子树大小最少是父亲子树大小的一半（否则此儿子不会是轻儿子），这样最多只会走\(O(log_2n)\)就到叶子节点了

二.长链剖分

1.一个节点的\(k\)级祖先所在长链长度一定不小于 \(k\)

证明：设\(u\)的\(k\)级祖先为\(v\)，\(v\)的重儿子为\(a\)，则若\(v\)所在长链长度小于 \(k\)，则\(a\)就不会是\(v\)的重儿子，而是\(u\)所在方向的儿子，与事实不符。

2.一个节点所在长链一定是该子树中最长的长链

证明：若此节点所在长链不是该子树中最长的长链，则该长链最低点深度一定小于该子树中最长的长链最低点深度，不符合重儿子的定义。

3.从根节点到任意叶子节点经过的轻边条数不超过\(\sqrt{n}\)

证明：根据性质二，若一直走轻儿子，设走了\(k\)次轻儿子，则最坏情况下节点个数依次减少\(k,k-1,...,1\)，则\(\frac{(k+1)*k}{2} =n\)，所以\(k=O(\sqrt{n})\)

4.长链剖分优化dp

当dp状态有一维与深度有关，则可以使用长链剖分dp，当前节点继承重儿子的dp状态，轻儿子的dp状态暴力合并。

证明：每个节点 深度那一维 最多调用 其子树深度最大值 个位置，所以每个节点合并的时间一定小于 该节点所在的长链长度，

      所以 时间复杂度=轻儿子个数*每个轻儿子所在长链长度=所有长链长度之和=O(n)