莫比乌斯反演(以及前置知识：整除分块，线性筛，狄利克雷卷积)

前置知识:

一.整除分块

冷知识:

1.\(\lfloor\frac{a}{bc}\rfloor = \lfloor\frac{\lfloor\frac{a}{b}\rfloor}{c}\rfloor\)

正文:

若暴力求解\(\sum^{n}_{i=1}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，时间复杂度为O(n)，但如果使用整除分块则可以令时间复杂度缩小至\(O(\sqrt{n})\)。
具体做法：可以令\(l=1\)，则通过\(l\)可以算出右端点(\(r=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor\))。当\(i\)在\(l\)到\(r\)之间时\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的值相等，所以可以一块一块算。
因为本质不同的\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)只有\(\sqrt{n}\)个，所以时间复杂度为\(O(\sqrt{n})\)。

二.线性筛

冷知识:

1.若\(f(T)\)为积性函数，且设\(T=\prod^{t}_{i=1}p_{i}^{x_{i}}\)，则有\(f(T)=\prod^{t}_{i=1}f(p_{i}^{x_{i}})\)

正文:

线性筛记录两个数组，一个记录一个数是否为合数(bool not_prime[]; )，另一个记录质数(vector primes; )。不会解释，直接看代码吧。（积性函数线性筛一般使用定义或冷知识1进行推导后线性筛）
莫比乌斯函数+质数线性筛代码(代码内手写了vector):

mu[1]=1;
for(int i=2;i<=50000;i++){
	if(!Not_Prime[i]){
		mu[i]=-1;
		pcnt++;
		Primes[pcnt]=i;
	}
	for(int j=1;j<=pcnt;j++){
		if(i*Primes[j]>50000){
			break;
		}
		Not_Prime[i*Primes[j]]=true;
		if(i%Primes[j]!=0){
			mu[i*Primes[j]]=mu[i]*(-1);
		}else{
			mu[i*Primes[j]]=0;
			break;
		}
	}
}

三.狄利克雷卷积

1.定义

对于两个数论函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，则他们的狄利克雷卷积得到的结果\(h(x)\)定义为：
\(h(T)=\sum_{d|T}f(d)g(\frac{T}{d})\)
记作\(h = f * g\)

重要性质：当\(f(x)\)和\(g(x)\)均为积性函数时，\(h(x)\)也为积性函数

2.常见的狄利克雷卷积

\(\varepsilon = \mu * 1 (莫比乌斯反演重要结论)\)
\(\varphi = \mu * id\)

四.莫比乌斯反演