A star寻路算法
前言
在开发中，如何编写NPC一直是一个值得研究的话题，其中，NPC的寻路问题值得学习研究。在这个问题上，A*算法很受欢迎。今天来记录一下它的算法思想及实现。
算法思想
- A*寻路算法是基于网格（Grid）的。
- 它是一种启发式（heuristic）算法。
简略地说：A*算法会优先搜索最有可能产生最短路径的网格。
接下来我们引入下面两个概念细说。
针对不同需求来度量两点间距离
在不同游戏中，NPC的移动是多种多样的：有四向移动的，有八向移动的，甚至有允许向任何方向移动的。
针对不同的移动需求，分别有对应的方法来度量两点间距离（现在先不考虑障碍物）。
- 四向移动：使用曼哈顿距离
曼哈顿距离
function heuristic(node) =
dx = abs(node.x - goal.x)
dy = abs(node.y - goal.y)
return D * (dx + dy)
这是一个标准的启发式函数，其中D表示相邻正方形网格间的最低移动成本。返回值是从node节点（将网格视为节点）到goal节点的代价。
- 八向移动：使用对角线距离
对角线距离
function heuristic(node) =
dx = abs(node.x - goal.x)
dy = abs(node.y - goal.y)
return D * (dx + dy) + (D2 - 2 * D) * min(dx, dy)
//等价于D * max(dx, dy) + (D2-D) * min(dx, dy)
//等价于if (dx > dy) (D * (dx-dy) + D2 * dy) else (D * (dy-dx) + D2 * dx)
相对于四向移动，八向移动允许NPC沿对角线行走，所以在原先的曼哈顿估价函数上引入了沿对角线移动的代价，即D2，在数值上一般可以定为1.414D。
至于返回值的计算中，为什么要取 min(dx, dy) ，这是因为对角线的长度总是被较短直角边限制住，看看上方的第二条注释应该可以明白。
- 任意向移动：可以使用欧式距离，也可以按照需求更改。
欧式距离
function heuristic(node) =
dx = abs(node.x - goal.x)
dy = abs(node.y - goal.y)
return D * sqrt(dx * dx + dy * dy)
在GameProgramming/Heuristics中简略地提到了各种优化办法，然而解决了一个问题，又会出现新的问题。在优化上，综合来说，我认为还是采取快速平方根近似来做优化比较合适，虽然开销仍然很大，但这也是没有办法中的办法了。
估价函数
A*中的估价函数可以表示为：f(n) = g(n) + h(n)
其含义为：
已知起点格与终点格，对于任一格n，g(n)为起点到n的实际代价，h(n)为n到终点的估计代价，f(n)是综合优先级，为这两者之和，在一定程度上反映了总代价。不太明白的话可以看看下面的例子讲解。
下面我们来看一个A*算法样例，在这其中感受估价函数的作用。关于障碍物的问题也见下文。
绿格为起点，红格为终点，灰格为障碍，允许进行八向移动，即使用对角线距离，规定代价D为1，代价D2为1.4。
第一步：计算起点周围可用格子的f = g + h。
如果某个格子到终点之间有障碍物，也无需理会，直接使用距离公式就好，对于h我们只需得到一个大概的值，这也是h值被称为估计距离的原因；而对于障碍，根本无需计算它。
结果如下：
第二步：从所有已知f值的格子(上图已标黄)中，取f值最小的并且尚未在第二步中被取过的格子，以它为新的起点，计算它周围可用格子的f = g + h。
有两条规则是：
-
假设本次取的是格子a，它周围的某个可用格子为b，那么新计算出来的b的g值必须为ab之间的实际代价再加上a的g值。
因为这个操作是模拟从a走向b的，当然要求其总和。 -
假设本次取的是格子a，它周围存在已经被计算过的格子b，那么必须比较新计算出的g值与格子b的旧g值的大小，格子b的g值要取其中最小值。
这个操作会更新旧的实际代价。
要注意的是，每次新计算的格子都会被计入已知f值的格子中，这也是A*算法是启发式算法的原因，它会优先搜索最有可能产生最短路径的网格。
如下：
第三步：若第二步中的某次计算时，有已计算格子的四周和终点相邻，则终止算法；否则继续执行第二步。
如下：
若干次后...
大概如此。
至于如何记录通路，可以让“被计算的格子”指向“最新一次更新它”的格子，这样一来，只要知道和终点相邻的那个格子，就可以反推回起点，形成通路。
优缺点分析
优点十分明显，A*算法能够适应不同的需求，十分灵活；而且作为一种启发式的算法，它的性能较好，是一种直接的搜索算法。
A*算法的缺点是实时性比较差，随着节点数的增多，搜索效率逐渐变低。
我的优化思路是，如果起点和终点之间相隔很远，中间的格子数过多，我们可以尝试降低采样频率，将相邻的每四个格子视为一个大格子，其中有两个或三个小格子可行走就视为大格子可行走，否则大格子即为障碍，这样一来，或许能提高时间效率。
此思路尚未实践过，究竟能否成功优化，适用于什么规模的地图寻路，还有待考证。
参考资料
GameProgramming/AStar
A*寻路算法详细解读
A-Star（A*）寻路算法原理与实现
启发式（heuristic）算法
