LGP3372 [LG TPLT] 线段树·I 学习笔记

LGP3372 [LG TPLT] 线段树·I 学习笔记

\(\texttt{Luogu Link}\)

题意简述

给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\)。请支持区间加、维护区间和。

\(n\le 10^5\)。值域保证在 long long 范围内。

做法解析一

线段树。

线段树非常高妙。它维护总共 \(O(n)\) 个区间的信息，修改的时候改 \(O(\log n)\) 个区间，而查询的时候就可以用 \(O(\log n)\) 个区间的信息合并起来整个区间的信息，还有巧妙的传 tag 机制，太伟大了线段树。

除此之外我也不知道这里有必要再对线段树描述些什么。先空着吧。

来都来了，测一下自己敲最基础的线段树的耗时。

代码实现一

好吧，\(15\) 分钟。我居然忘了区间加线段树在 maketag 的时候，sum[u]+=tag[u]*clen[u] 这个地方是有个 clen[u] 的系数的！见鬼。

这大概是因为，最近主要写的是区间加区间求 \(\max\) 的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace obasic;
const int MaxN=1e5+5;
int N,M,Opt,X,Y;lolo A[MaxN],Z;
struct SegTree{
    int cl[MaxN<<2],cr[MaxN<<2],cmid[MaxN<<2];
    lolo sum[MaxN<<2],tag[MaxN<<2];
    int ls(int u){return u<<1;}
    int rs(int u){return (u<<1)|1;}
    void pushup(int u){sum[u]=sum[ls(u)]+sum[rs(u)];}
    void build(int u,int l,int r){
        cl[u]=l,cr[u]=r;
        if(l==r){sum[u]=A[l];return;}
        int mid=(l+r)>>1;cmid[u]=mid;
        build(ls(u),l,mid),build(rs(u),mid+1,r),pushup(u);
    }
    void maketag(int u,lolo x){sum[u]+=(cr[u]-cl[u]+1)*x,tag[u]+=x;}
    void pushdown(int u){if(tag[u])maketag(ls(u),tag[u]),maketag(rs(u),tag[u]),tag[u]=0;}
    void modify(int u,int dl,int dr,lolo x){
        if(dl<=cl[u]&&cr[u]<=dr){maketag(u,x);return;}
        pushdown(u);
        if(dl<=cmid[u])modify(ls(u),dl,dr,x);
        if(dr>cmid[u])modify(rs(u),dl,dr,x);
        pushup(u);
    }
    lolo getsum(int u,int dl,int dr){
        if(dl<=cl[u]&&cr[u]<=dr)return sum[u];
        pushdown(u);lolo res=0;
        if(dl<=cmid[u])res+=getsum(ls(u),dl,dr);
        if(dr>cmid[u])res+=getsum(rs(u),dl,dr);
        return res;
    }
}SgT;
int main(){
    readis(N,M);
    for(int i=1;i<=N;i++)readi(A[i]);
    SgT.build(1,1,N);
    for(int i=1;i<=M;i++){
        readis(Opt,X,Y);
        if(Opt==1)readi(Z),SgT.modify(1,X,Y,Z);
        if(Opt==2)writil(SgT.getsum(1,X,Y));
    }
    return 0;
}

做法解析二

区间加区间修树状数组。这才是我开这篇博客的真实原因。

首先，修改或查询 \([l,r]\) 都差分成 \([1,r]\) 和 \([1,l)\) 解决。

考虑求出原数组的差分数组 \(B\)。区间修改在差分数组上表现为两个单点改；对于区间查询显然有：\(\sum_{i=1}^p a_i=\sum_{i=1}^p (p+1-i)\times b_i=(p+1) \sum_{i=1}^p b_i-\sum_{i=1}^p i\times b_i\)。

这是很基础的柿子。记着。

所以我们维护 \(\sum_{i=1}^p b_i\) 和 \(\sum_{i=1}^p i\times b_i\)。这样就做完了！

代码实现二

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace obasic;
const int MaxN=1e5+5;
int N,M,Opt;lolo X,Y,Z;
struct BinidTree{
    int n;lolo ta[MaxN],ts[MaxN];
    void init(int x){n=x;fill(ta,ta+n+1,0),fill(ts,ts+n+1,0);}
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void add(int p,lolo x){for(int q=p;q&&q<=n;q+=lowbit(q))ta[q]+=x,ts[q]+=p*x;}
    void adds(int l,int r,lolo x){add(l,x),add(r+1,-x);}
    lolo gts(int p){lolo res=0;for(int q=p;q;res+=(p+1)*ta[q]-ts[q],q-=lowbit(q));return res;}
    lolo getsum(int l,int r){return gts(r)-gts(l-1);}
}BiT;
int main(){
    readis(N,M);BiT.init(N);
    for(int i=1;i<=N;i++)readi(X),BiT.adds(i,i,X);
    for(int i=1;i<=M;i++){
        readis(Opt,X,Y);
        if(Opt==1)readi(Z),BiT.adds(X,Y,Z);
        if(Opt==2)writil(BiT.getsum(X,Y));
    }
    return 0;
}