ATB180F Unbranched 学习笔记

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题意简述

求 \(n\) 个点，\(m\) 条边且满足以下条件的无向图数量：

• 无自环。
• 每个点度数最多为 \(2\)。
• 连通块大小的最大值恰为 \(L\)。

点有标号。答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(2\le n\le 300\)，\(1\le m,L\le n\)。

做法解析

每个点度数最多为 \(2\) 就是在说这个图是由若干链或环构成的。

你先考虑，如果是“连通块大小的最大值最多为 \(L\)”，那你会不会做？我们用DP解决这个问题。设 \(f_{i,j}\) 为用了 \(i\) 个点，\(j\) 条边之后最大连通块大小不大于 \(L\) 的方案数。那么这个东西是比较好转移的，显然使用填表法，我们枚举新加入的一个连通块大小 \(k\)。显然 \(f_{i,j}\) 可以从 \(f_{i-k,j-k}\)（即加入了一条点数为 \(k\) 的环）和 \(f_{i-k,j-k+1}\)（即加入链）。

如果你加入了一条 \(k\) 个点的链，你实际上是从 \(n-i+k\) 各点里面选出 \(k\) 个点作为一条链，显然方案是 \(A_{n-i+k}^{k}\)……的吗？注意，举个例子，对于两条链 \(\{3,4,5\}\)，\(\{6,7,8\}\)，如果两个方案唯一的区别在于加入这两者的先后顺序不一样，它们按理来说应该算一个方案。所以我们每次转移时钦定当前编号最小的点必须被选中，这样的话这种情形就不会被算重。另外，注意长度大于 \(1\) 的链会两两同构，所以我们还要除以二。

环的情况同理。注意长度大于 \(2\) 的环也会两两同构，所以也要除以二。

你发现条件里有一个“恰好为 \(L\)”，我们可以将它转化为“最多为 \(L\)”的方案数减去“最多为 \(L-1\)”的方案数。这样这题就做完了。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace obasic;
using namespace omodint;
using mint=m107;
const int MaxN=3e2+5;
mint facr[MaxN],finv[MaxN];
using namespace omathe;
int N,M,L;mint dp[MaxN][MaxN];
mint solve(int n,int m,int lim){
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            dp[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=min({lim,i,j+1});k++)dp[i][j]+=dp[i-k][j+1-k]*Arra(n-i+k-1,k-1)*k/(k==1?1:2);
            for(int k=2;k<=min({lim,i,j});k++)dp[i][j]+=dp[i-k][j-k]*Arra(n-i+k-1,k-1)/(k==2?1:2);
        }
    }
    return dp[n][m];
}
int main(){
    readis(N,M,L);premwork(N);
    writi(miti(solve(N,M,L)-solve(N,M,L-1)));
    return 0;
}

反思总结

经典套路：“恰好”转成两个“最多为”之差。

这道题没有那一大坨熔池系数的原因是这真的只是“‘恰好’转成两个‘最多为’之差”，与二项式反演和那个不等于“至少”的“钦定”无关。