LGP5072 [Ynoi 2015-E] 盼君勿忘 学习笔记

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题意简述

给定一个长为 \(n\) 的序列。\(m\) 次询问，每次查询一个区间 \([l_i,r_i]\) 中所有子序列分别去重后的和 \(\bmod\,p_i\)。

做法解析

首先先拆开这坨“所有子序列分别去重后的和”，我们发现，对于一次询问，设 \(len=r-l+1\)，数字 \(x\) 在其中出现 \(t\) 次，那么此数字做出的贡献就是 \(2^{len}-2^{len-t}\)（总共有 \(2^len\) 个子序列（包括空序列），要想一个 \(t\) 不选就要从剩余的 \(len-t\) 个元素中自由组合）。

然后我们就可以莫队了？我们维护每种元素当前区间内的出现次数与出现 \(t\) 次的元素的和 \(sum_t\)。这样的话，更新答案的时候求 \(\sum_{t=1}^{n} sum_t\times 2^{len}-2^{len-t}\) 就行了。当然，我们不能真的把 \(t\) 枚举到 \(n\)，而要根据出现次数根号分治，对于 \(t>\sqrt{n}\) 的元素我们开个map单独维护。

最后你发现这个 \(2\) 的幂次由于每次询问模数不一样所以都要重新处理一次，但是每处理一次如果按普通的方法是 \(O(n)\) 的，所以我们要用光速幂，也就是预处理出 \(2^1,2^2,\dots,2^{B-1}\) 以及 \(2^B,2^{2B},\dots,2^n\) 的值，然后需要求幂次值时 \(O(1)\) 拼接，一般地取 \(B=\sqrt{n}\)。

好了这题就做完了。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace obasic;
const int MaxN=1e5+5,MaxNr=325;
int N,M,Nr,A[MaxN],bel[MaxN],apr[MaxN],cnt[MaxN];
struct quer{int l,r,p,id;}Q[MaxN];
bool cmp(quer a,quer b){return bel[a.l]==bel[b.l]?(bel[a.l]&1?a.r<b.r:a.r>b.r):a.l<b.l;}
lolo cpw2[2][MaxNr],ans[MaxN],curp;
void initpow(int p){
    cpw2[0][0]=cpw2[1][0]=1,curp=p;
    for(int i=1;i<=Nr;i++)cpw2[0][i]=cpw2[0][i-1]*2%p;
    for(int i=1;i<=N/Nr;i++)cpw2[1][i]=cpw2[1][i-1]*cpw2[0][Nr]%p;
}
lolo cpow(int x){return cpw2[0][x%Nr]*cpw2[1][x/Nr]%curp;}
unordered_map<int,int> ump;
void mocadd(int id){
    int &cc=cnt[A[id]];
    if(cc>Nr){ump[A[id]]++,cc++;return;}
    apr[cc]-=A[id],cc++;(cc<=Nr)?apr[cc]+=A[id]:ump[A[id]]=cc;
}
void mocdel(int id){
    int &cc=cnt[A[id]];
    if(cc<=Nr){apr[cc]-=A[id],cc--,apr[cc]+=A[id];return;}
    ump[A[id]]--,cc--;if(cc==Nr)ump.erase(A[id]),apr[cc]+=A[id];
}
int main(){
    readis(N,M),Nr=sqrt(N);
    for(int i=1;i<=N;i++)readi(A[i]),bel[i]=i/Nr+1;
    for(int i=1;i<=M;i++)readis(Q[i].l,Q[i].r,Q[i].p),Q[i].id=i;
    sort(Q+1,Q+M+1,cmp);
    for(int i=1,cl=1,cr=0,clen,cp;i<=M;i++){
        cp=Q[i].p,initpow(Q[i].p);
        while(cl>Q[i].l)mocadd(--cl);
        while(cr<Q[i].r)mocadd(++cr);
        while(cl<Q[i].l)mocdel(cl++);
        while(cr>Q[i].r)mocdel(cr--);
        lolo &cans=ans[Q[i].id];clen=cr-cl+1;
        for(int j=1;j<=min(Nr,clen);j++)(cans+=apr[j]*(cp+cpow(clen)-cpow(clen-j)))%=cp;
        for(auto [k,val] : ump)(cans+=k*(cp+cpow(clen)-cpow(clen-val)))%=cp;
    }
    for(int i=1;i<=M;i++)writil(ans[i]);
    return 0;
}