ATR105F Lights Out on Connected Graph 学习笔记

ATR105F Lights Out on Connected Graph 学习笔记

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题意简述

给定一个 \(n\) 点 \(m\) 边的简单无向图 \(G\)。问 \(G\) 有多少个支撑子图为连通的二分图。

定义：若 \(H\subseteq G\) 满足 \(V_H=V_G\)，则称 \(H\) 为 \(G\) 的支撑子图。

\(n\le 17\)。

做法解析

本题有两个约束条件：“连通”和“二分图”。“连通”好处理（原理详见 \(\texttt{ATB213G}\) 学习笔记），“二分图”怎么约束出来？

设 \(G_S\) 为只考虑点集 \(S\) 时二分支撑子图（无论连通与否）的个数，\(F_S\) 为只考虑点集 \(S\) 时强连通二分支撑子图的个数。

实际上这是简单的：一个二分图的点集必然可以被黑白染色成一个黑点集和一个白点集，我们就去枚举所有把 \(S\) 分成两个点集的方案。具体来说，我们枚举 \(S\) 的黑点点集 \(T\)，即有：\(G_S=\sum_{T\subset S}2^{\text{ecnt}_{T\leftrightarrow S-T}}\)。可以看到，贡献全部是以“二分图的形式”做出来的，也就是说我们在考虑到了 \(T\leftrightarrow S-T\) 的边时，也默认要求了 \(S\) 和 \(T\) 内部的边全部删掉。

然后这题就做完了。注意最后答案要除以二，因为黑白互换本质上是一种方案。

代码实现

无子集卷积优化。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace obasic;
using namespace omodint;
using mint=M998;
const int MaxN=17,MaxNs=3e2,MaxNa=1<<17;
int N,M,alf,Gr[MaxN],X,Y,lg2[MaxNa],ecnt[MaxNa];
void addudge(int u,int v){Gr[u]|=(1<<v),Gr[v]|=(1<<u);}
int lowbit(int x){return x&(-x);}
mint pw2[MaxNs],F[MaxNa],G[MaxNa];
int main(){
    readi(N),readi(M),alf=(1<<N)-1;
    for(int i=2;i<=alf;i<<=1)lg2[i]=lg2[i/2]+1;
    pw2[0]=1;for(int i=1;i<=M;i++)pw2[i]=pw2[i-1]*2;
    for(int i=1;i<=M;i++)readi(X),readi(Y),addudge(X-1,Y-1);
    for(int s=1;s<=alf;s++){
        int l=lowbit(s),u=lg2[l],t=s-l;ecnt[s]=ecnt[t];
        for(int i=0;i<N;i++)if(t&(1<<i)&&(Gr[u]&(1<<i)))ecnt[s]++;
    }
    for(int s=0;s<=alf;s++){
        for(int t=s;;t=(t-1)&s){
            G[s]+=pw2[ecnt[s]-ecnt[t]-ecnt[s-t]];
            if(!t)break;
        }
    }
    for(int s=0;s<=alf;s++){
        int l=lowbit(s);F[s]=G[s];
        for(int t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s)if(t&l)F[s]-=F[t]*G[s-t];
    }
    writi(miti(F[alf]/2));
    return 0;
}

反思总结

见到无向图连通性状压计数，就正难则反处理连通性问题；看到二分图，想黑白染色！