LGP5323 [BJTS 2019] 光线 学习笔记

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题意简述

有 \(n\) 块玻璃。对于每层玻璃 \(i\)，其有一个透光率和反射率：当 \(x\) 个单位的光打到第 \(i\) 块玻璃上时，有 \(x\times a_i\%\) 单位的光透过去，有 \(x\times b_i\%\) 单位的光被反射回去，其它的光被吸收。

现在将这 \(n\) 层玻璃叠在一起，问若 \(1\) 单位的光从第 \(1\) 层玻璃上射入，最后有多少单位的光从第 \(n\) 层玻璃射出。

做法分析

这问题长得就很像个线性DP：光一层层的穿过玻璃，当光将要穿过第 \(i\) 层玻璃时，把前 \(i-1\) 层玻璃“合并”为一个玻璃去考虑看着很可做。

手玩一下此题玻璃打光的机制，我们易想到 \(P_i\) 为光从最上方射进来的透光率，\(Q_i\) 为光从下打到第 \(i\) 块玻璃时的反射率。

此时易得：

\[P_i=P_{i-1}a_i\sum_{k=0}^{\infty}(Q_{i-1}b_i)^k \]

\[Q_i=b_i+Q_{i-1}a_i^2\sum_{k=0}^{\infty}(Q_{i-1}b_i)^k \]

我们发现里面有个无穷级数形式的东西，当 \(|a|<1\) 时，\(\sum_{k=0}^{\infty} a^k=\frac{1}{1-a}\)。

所以最终递推式就是

\[P_i=\frac{P_{i-1}a_i}{1-(Q_{i-1}b_i)} \]

\[Q_i=b_i+\frac{Q_{i-1}a_i^2}{1-(Q_{i-1}b_i)} \]

然后算就完了！

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{
    typedef long long lolo;
    template <typename _T>
    void readi(_T &x){
        _T k=1;x=0;char ch=getchar();
        for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;
        for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        x*=k;return;
    }
    template <typename _T>
    void writi(_T x){
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        if(x>9)writi(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
};
using namespace obasic;
namespace omathe{
    lolo fastpow(lolo a,lolo b,lolo p){
        lolo res=1;
        for(;b;(a*=a)%=p,b>>=1)if(b&1)(res*=a)%=p;
        return res;
    }
    lolo getinv(lolo a,lolo p){
        return fastpow(a,p-2,p);
    }
};
using namespace omathe;
const int Mod=1e9+7,MaxN=5e5+5;
const int aInv=570000004;//getinv(100,Mod)
int N;lolo A[MaxN],B[MaxN];
lolo P[MaxN],Q[MaxN],W;
int main(){
    readi(N);P[0]=1,Q[0]=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        readi(A[i]),readi(B[i]);
        (A[i]*=aInv)%=Mod,(B[i]*=aInv)%=Mod;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        W=getinv((1+Mod-(Q[i-1]*B[i]%Mod))%Mod,Mod);
        P[i]=P[i-1]*A[i]%Mod*W%Mod,Q[i]=(B[i]+Q[i-1]*A[i]%Mod*A[i]%Mod*W%Mod)%Mod;
    }
    writi(P[N]);
    return 0;
}

反思总结

无穷级数知识：当 \(|a|<1\) 时，\(\sum_{k=0}^{\infty} a^k=\frac{1}{1-a}\)。