ARC159C Permutation Addition 题解

不妨记 \(s= \sum a_i\)。

• \(n\) 是奇数

不难发现如果 \(s \bmod n \neq 0\)，那么必然无解。

否则记 \(t=\dfrac{s}{n}\)。

考虑每次选出一对下标 \((i,j)\)，满足 \(a_i<t\) 且 \(a_i>t\)，我们相当于可以通过以下操作使得 \(a_i\) 变大 \(1\)，\(a_j\) 减小 \(1\)。

进行两次操作，第 \(1\) 次加上 \(1,2,3,4,5\dots n\)，第二次加上 \(n,n-1,n-2\dots 1\)。

不妨让 \(i\) 加的为 \(1,n\)，\(j\) 加的为 \(2,n-1\)，那么我们交换第一次操作中两个下标加的数，即 \(i\) 加的为 \(2,n\)，\(j\) 加的为 \(1,n-1\)。

不难发现一定有解。操作次数为 \(O(na)\) 的。

• \(n\) 是偶数

如果 \(s\bmod n=0\)，运用上述算法即可。

如果 \(s \bmod n=\dfrac{n}{2}\)，考虑先随机一次操作之后再进行上述算法即可。

操作次数为 \(O(na)\)。