CF1793E Velepin and Marketing 题解

题目大意

有 \(n\) 个读者，第 \(i\) 年他们要一起读 \(k_i\) 本书，每一本书至少要让一个人读，每一个人也只能读恰好一本书。 如果某一个人 \(j\)，如果有 \(a_j\) 个人这一年里和他读了同一本书，那么他就会感到满足。

对于所有的 \(q\) 组询问，每组给定一个 \(k_i\)，求感到满足的人数的最大值。

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\(\text{Solution}\)

我们先将 \(a_i\) 排序，考虑到答案一定是一个前缀 \([1,x]\)，不然我们可以交换两个人 \(i \in [1,x]\) 和 \(j \in [x+1,n]\)，这样显然不会更劣。

考虑设计一个状态 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个人最多可以读 \(f_i\) 本书，且读这 \(f_i\) 本书的人都感觉满足。

转移是很简单的，\(f_i=\max\{f_{i-1},f_{i-a_i}+1\}\)。

接下来考虑怎么对于每一组询问求出答案。

既然答案是一个前缀，那么我们考虑二分这一个前缀，接下来的问题转化为：我们怎么判定前缀 \([1,x]\) 是否合法。

首先我们贪心的想，我们让后面的 \(n-x+1\) 个人每人读一本书。

接下来分为两种情况：

• 如果后面人数有剩余，那么我们让他们和 \([1,x]\) 中的读统一本书，再判定即可。
• 如果书有剩余 \(r\) 本，考虑检查 \(f_{x-a_x}\) 是否 \(\geq c\)，如果是则我们让前 \(x-a_x\) 个人中不满足的和 \([x-a_x+1,x]\) 中的人读同一本即可。

代码实现很简单。

#include<bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define vc vector
#define db double
#define END exit(0)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define ll long long
#define PI pair<int,int>
#define ull unsigned long long
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define err cerr << " -_- " << endl
#define debug cerr << "------------------------" << endl

//useful:
//#define cout cerr
//#define OccDreamer
//#define int long long

using namespace std;

namespace IO{
	inline int read(){
		int X=0, W=0;char ch=getchar();
		while(!isdigit(ch)) W|=ch=='-', ch=getchar();
		while(isdigit(ch)) X=(X<<1)+(X<<3)+(ch^48), ch=getchar();
		return W?-X:X;
	}
	inline void write(ll x){
		if(x<0) x=-x, putchar('-');
		if(x>9) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
	inline void sprint(ll x){write(x);putchar(32);}
	inline void eprint(ll x){write(x);putchar(10);}
}using namespace IO;

const int inf=1e9;
const int MAXN=4e5+5;
const int mod=998244353;

int n, k;
int a[MAXN], f[MAXN];

inline bool judge(int x, int k){
	int c=n-x, rest=c-k;
	if(rest>=0 && x+rest<a[x]) return 0;
	if(rest>=0) return 1;
	k-=c;
	if(a[x]>x) return 0;
	if(f[x-a[x]]>=k) return 1;
	return 0;
}

inline void solve(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	sort(a+1,a+1+n); f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(a[i]>i) f[i]=f[i-1];
		else{
			f[i]=f[i-a[i]]+1;
		}
		f[i]=max(f[i-1],f[i]);
	}
	int q=read(), k, l, r, mid;
	while(q--){
		k=read();
		l=1, r=n;
		int c;
		while(l<=r){
			mid=(l+r)>>1;
			if(judge(mid,k-1)) l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		eprint(r);
	}
	return ;
}

int main(){
	solve();
	return 0;
}