洛谷 P3758 [TJOI2017]可乐（DP||矩阵优化）
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3758
在不用矩阵优化之前，可以写递推/记忆化：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 const int N=35; 6 const int maxn=1e6+5; 7 const int mod=2017; 8 int n,m,ans,t; 9 int dp[N][maxn]; 10 int head[N],tot; 11 struct node{ 12 int to,next; 13 }edge[N<<1]; 14 void add(int u,int v){ 15 edge[tot].to=v; 16 edge[tot].next=head[u]; 17 head[u]=tot++; 18 } 19 int DFS(int u,int t,int f){ 20 if(dp[u][t]) return dp[u][t]; 21 if(t==1) return 1; 22 dp[u][t]=1; 23 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ 24 int v=edge[i].to; 25 dp[u][t]+=DFS(v,t-1,u); 26 dp[u][t]%=mod; 27 } 28 dp[u][t]+=DFS(u,t-1,f); 29 dp[u][t]%=mod; 30 return dp[u][t]; 31 } 32 int main(){ 33 memset(head,-1,sizeof(head)); 34 scanf("%d%d",&n,&m); 35 for(int i=1;i<=m;i++){ 36 int u,v; 37 scanf("%d%d",&u,&v); 38 add(u,v); 39 add(v,u); 40 } 41 scanf("%d",&t); 42 printf("%d",DFS(1,t+1,0)); 43 return 0; 44 }
然而这道题可以用矩阵快速幂优化：
用邻接矩阵存图，那么这恰好就是一个矩阵A，矩阵的应用可以求有向图中从a到b经过k条边的可能数。
那么经过t次矩阵乘法，即$A^t$，然后$ans=\sum\limits_{i=0}^n a[1][i]$
（其中b为单元矩阵，即对角线为1，其余为0的矩阵，相当于普通的“1”。）
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 int n,m,t,sum; 6 const int mod=2017; 7 struct Mat{ 8 int mat[31][31]; 9 Mat(){ 10 memset(mat,0,sizeof(mat)); 11 } 12 Mat operator*(const Mat &self)const{ 13 Mat ans; 14 for(int i=0;i<=30;i++) 15 for(int j=0;j<=30;j++) 16 for(int k=0;k<=30;k++) 17 (ans.mat[i][j]+=mat[i][k]*self.mat[k][j])%=mod; 18 return ans; 19 } 20 }a,b; 21 void init(){ 22 for(int i=0;i<=30;i++) b.mat[i][i]=1;//b为单位矩阵 23 } 24 void ksm(int n){ 25 while(n){ 26 if(n&1) b=b*a; 27 a=a*a; 28 n>>=1; 29 } 30 } 31 int main(){ 32 scanf("%d%d",&n,&m); 33 for(int i=1;i<=m;i++){ 34 int u,v; 35 scanf("%d%d",&u,&v); 36 a.mat[u][v]=a.mat[v][u]=1; 37 } 38 for(int i=0;i<=n;i++) { a.mat[i][0]=1; a.mat[i][i]=1;} 39 scanf("%d",&t); 40 init(); 41 ksm(t); 42 for(int i=0;i<=n;i++) (sum+=b.mat[1][i])%=mod; 43 printf("%d\n",sum); 44 return 0; 45 }
