BZOJ2154: Crash的数字表格 & BZOJ2693: jzptab

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简要题意:

  给出n,m,求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}LCM(i,j)$


题解:

  莫比乌斯反演(因为BZOJ2693是多组数据,数据强一点,所以代码用BZOJ2693的)

  设n<m,原式等于$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}i*j/gcd(i,j)$

  然后枚举d值作为i和j的gcd,得到$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i*j}{d}[gcd(i,j)==d]$$

  因为gcd(i,j)==d,所以gcd(i/d,j/d)==1,得到$$\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}i*j[gcd(i,j)==1]$$

  因为莫反的性质:$\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1]$,所以转化为$$\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}i*j*\sum_{t|gcd(i,j)}\mu(t)$$

  交换和式得到$$\sum_{d=1}^{n} d* \sum_{t=1}^{\frac{n}{d}} \mu(t) * \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}} i*j[gcd(i,j)==t]$$

  $$\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}t^{2}*\mu(t)*\sum_{i=1}^{\frac{n}{dt}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{dt}}i*j$$

  设$T=dt$,$S(x)=\sum_{i=1}^{x}i$,得到$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}T*t*\mu(t)*S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})$$

  将$S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})$提前,得到$$\sum_{T=1}^{n}T*S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})\sum_{d|T}d*\mu(d)$$

  因为$S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})$可以前缀和预处理,显然我们只要将$\sum_{d|T}d*\mu(d)$快速求出就可以了

  设$F(T)=\sum_{d|T}d*\mu(d)$,显然是一个积性函数,在线性筛的时候求就行了

  然后将$T*F(T)$求前缀和,然后整除分块加速就能过了


参考代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int prime[11000000],v[11000000];
LL f[11000000],sum[11000000];
LL Mod=1e8+9;
void pre(int n)
{
    f[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)
        {
            v[i]=i;
            prime[++tot]=i;
            f[i]=(1-i+Mod)%Mod;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0){f[i*prime[j]]=f[i]%Mod;break;}
            else f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%Mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=(f[i]*LL(i)%Mod+f[i-1])%Mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+LL(i))%Mod;
}
int main()
{
    pre(10000000);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        LL ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans=(ans+(f[j]-f[i-1]+Mod)%Mod*sum[n/i]%Mod*sum[m/i]%Mod)%Mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

渺渺时空,茫茫人海,与君相遇,幸甚幸甚
posted @ 2018-10-24 20:25  Star_Feel  阅读(161)  评论(0编辑  收藏  举报