「题解」CF1033G Chip Game（手摸博弈）

神仙博弈！

考虑给定 \(a,b\)。

可以证明，\(\{v_i\}\) 组成的游戏，与 \(\{v_i\bmod (a+b)\}\) 完全等价。

证明不再赘述，可以直观感性地理解。

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枚举 \(s=a+b\)，将 \(v_i\bmod s\) 后排序。

仍然考虑给定 \(a,b\)，如何判断胜负情况。

\(A\) 必胜、\(B\) 必胜的情况本质是一致的，可以简单求解。

接下来考虑如何判断先后手必胜。

先排除掉 \(v_i<a\) 的堆，剩下的堆数记为 \(n\)。

注意到：

• 如果存在 \(a\le v_i<b\)，此时 \(\bm A\) 必胜。因为，\(A\) 可以把 \(v_i\) 留在最后操作。
• 如果存在两个及以上 \(i\)，\(2a\le v_i<a+b\)，此时 \(\bm A\) 必胜。如果 \(A\) 先手，\(A\) 可以选择 \(i\)，转化为上面的情况；否则，\(B\) 一定会选择其中一个，\(A\) 接着选另外一个。

排除掉上面的情况，因为这不属于先手或者后手必胜。

此时，若 \(n\) 为偶数，后手必胜，否则先手必胜。

枚举 \(a,b\in (v_{i-1},v_i]\)，可以算出 \(a,b\) 的下界：

• 若 \(n\) 为奇数，先手必胜，下界为 \(\dfrac{v_{n-1}}{2}\)；否则，后手必胜，下界 \(\dfrac{v_n}{2}\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, m, v[110], g[110];
signed main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i];
	int fir = 0, sec = 0;
	for (int s = 2; s <= 2 * m; s++) {
		memcpy(g, v, sizeof g);
		for (int i = 1; i <= n; i++) v[i] %= s;
		sort(v + 1, v + n + 1);
		v[n + 1] = max(v[n], m);
		for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
			int l = v[i - 1] + 1, r = min(m, v[i]);
			if (l > r) continue;
			if ((n - i + 1) & 1) l = max(l, v[n - 1] / 2 + 1), fir += max(0ll, min(s - l, r) - max(s - r, l) + 1);
			else l = max(l, v[n] / 2 + 1), sec += max(0ll, min(s - l, r) - max(s - r, l) + 1);
		}
		memcpy(v, g, sizeof v);
	}
	cout << (m * m - fir - sec) / 2 << " " << (m * m - fir - sec) / 2 << " " << fir << " " << sec << "\n";
	return 0;
}