【科技】划分数反演

给定 \(n,k\)，求

\(\prod_{i=1}^k x_i=n!\)，且 \(x_i\) 互不相同的解的数量，对 \(10^9+7\) 取模。

\(1\le k\le 60\)，\(1\le n\le 100\)。

划分数反演

定义

对于任意分解 \(x_i\)，把若干相等的元素的下标组成一个集合加入到集合 \(\pi\) 中，\(\pi\) 定义为 \(x\) 的 划分。

例如，\(\pi_{x=\{1,2,3,2\}}=\{\{2,4\},\{1\},\{3\}\}\)。

定义 \(\pi'<\pi\)，\(\pi'\) 是 \(\pi\) 的 细分，当且仅当所有 \(\pi'\) 中的元素作为子集在 \(\pi\) 中的一个元素中出现。

例如，\(\{\{2,4\},\{1\},\{3\}\}<\{\{2,4\},\{1,3\}\}\)。

定义 \(\pi\) 的类型 \(t(\pi)\)，为所有 \(i\in \pi，|i|\) 的集合。

初步转化

设 \(f_{\pi}=\) 划分为 \(\pi\) 的解的数量，\(g_{\pi}=\) 划分 \(\ge \pi\) 的解的数量，\(g\) 是好求的，等价于已知若干变量相等，经典背包。

设 \(F_{t}=\sum_{t(x)=t}f_x\)，\(G_{t}=\sum_{x,t(x)=t}g_x\)，\(F_{t},G_{t}\) 形如 \(f,g\) 乘上系数（组合数）的形式，\(G\) 是好求的。现在转化为求 \(F_{\{1,1,1,\cdots\}}\)。

记 \(m=k\) 的分解数，也就是 \(t\) 的个数。

求 \(F_{\{1,1,1,\cdots\}}\)

举例：\(k=4\)，容易发现转移和 \(n\) 无关。

消元可以求出所有 \(F\)，时间复杂度 \(\mathcal{O}(m^2)\)。

可以做到线性。

定义 \(c(t)=\prod_{i\in t}(i-1)!(-1)^{i-1}\)。

\(F_{\{1,1,1,\cdots\}}=\sum_t c(t)G_t\)。

证明 \(\sum_t c(t)G_t=F_{\{1,1,1,\cdots\}}\)

记 \(a_{t,t'}\) 为系数矩阵 \(t\) 所在行 \(t'\) 所在列。

\[\sum_t c(t)G_t = \sum_t c(t)\sum_{t'} a_{t,t'}F_{t'} = \sum_{t'}F_{t'}\sum_t c(t)a_{t,t'} \]

下面证明 \(t'\ne \{1,1,1,\cdots\}\) 时，\(\sum_t c(t)a_{t,t'}=0\)。

\(a_{t,t'}\) 的含义是，对于任意一个 \(t'\) 类型的划分，都有 \(a_{t,t'}\) 个细分是 \(t\) 类型的。

\(\sum_t c(t)a_{t,t'}\) 的含义就是，对于 \(t\) 类型的任意一种划分，它的任意一种细分得到的类型，\(c(t)\) 之和。

\(t\) 的答案，等价于对 \(i\in t\)，\(i\) 的答案的 积。

转化为证明：当 \(n>1\)，\(n\) 个数划分为若干集合，每个集合大小 \(c\) 之和，一定为 \(0\)。

归纳，\(n=1\) 是为 \(1\)，

\(n>1\) 时枚举 \(n\) 所在集合的大小，

得证。