数论算法集结

数论算法

看清楚限制条件！

费马小定理

\(a^{p-1}\bmod p=1\ \ \ \ \ (p\in \text{Prime})\)

欧拉定理

\(a^{φ(p)}\bmod p=1\ \ \ \ \ (\gcd(a,p)=1)\)

证明可以取 \(1\sim p-1\) 内和 \(p\) 互质的所有数，把它们 \(\times a\) 后仍然对应着 \(1\sim p-1\) 内和 \(p\) 互质的所有数，列个等式，解得 \(a^{φ(p)}\bmod p=1\)。

扩展欧拉定理

• \(a^{b}\bmod p=a^b\bmod p\ \ \ \ \ (b<φ(p))\)
• \(a^{b}\bmod p=a^{(b\bmod{φ(p)})+φ(p)}\bmod p\ \ \ \ \ (b\ge φ(p))\)

证明，把 \(p\) 分解质因数后分类讨论即可。

卢卡斯定理

\(\dbinom{a}{b}\bmod p=\dbinom{a\bmod p}{b\bmod p}\cdot \dbinom{\frac{a}{p}}{\frac{b}{p}}\bmod p\ \ \ \ \ (p\in \text{Prime})\)，除法下取整。

证明，通过拆取模二项式再看特定数的系数可得。

由此可得一条重要性质：\(\dbinom{a}{b}\bmod 2=1\) 当且仅当 \(b\) 是 \(a\) 的子集，证明。

中国剩余定理

求同余方程最小解，要求 \(m_i\) 两两互质。

记 \(M=\prod m_i\)，\(p_i=M/m_i\) 关于 \(m_i\) 的逆元，答案即为 \((\sum_i b_i\cdot m_i\cdot p_i)\bmod M\)。

二元一次不定方程 ExGCD

求 \(ax+by=c\) 的解的数量，所有解中 \(x,y\) 的最小最大值。

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (!b) { 
		x = 1, y = 0; return; 
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = x;
	x = y, y = t - a / b * y;
}

求 \(ax+by=\gcd(x,y)\) 的一组特解 \((x_0,y_0)\)。

那么 \((x_1,y_1)=(x_0\times \dfrac{c}{\gcd(x,y)}, y_0\times \dfrac{c}{\gcd(x,y)})\) 即为 \(ax+by=c\) 的一组特解。

考虑任意一组解，一定可以表示为 \(a(x_1+d\times b)+b(y_1-d\times a)=c\)，\(db,da\in \text{Z}\)。

求出最小的 \(d=\dfrac{1}{\gcd(a,b)}\)，其他的一定是这个数的倍数。

\(s\ge\dfrac{-x_1+1}{bd}\) 上取整，\(s\le\dfrac{y_1-1}{ad}\) 下取整。

推式相关

耿利克雷卷积

• \(\mu * I=ε\)
• \(\phi * I=\text{Id}\)
• \(\mu * \text{Id}=\phi\)

莫比乌斯反演

\(f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\to g(n)=\sum_{n\mid d}\mu(\dfrac{d}{n})f(d)\)。

因为：\(f=g*I\to f*\mu=g*(I*\mu)\to f*\mu=g*ε=g\)。

莫比乌斯反演，本质是卷积。所以，所有莫比乌斯反演，等价于用卷积来做！！

推式技巧

• 增加枚举量（枚举 \(\gcd\)、枚举 \([E]\)）
• 交换求和符号
• 分离无关变量（\(\sum_i\sum_j ij=(\sum_i i)\times(\sum_j j)\)）
• 换元（\(\sum_i\sum_j f(i)\dfrac{N}{ij}=\sum_x\dfrac{N}{x}\sum_{i\mid x}f(i)\)）
• 套用卷积形式（反演）

杜教筛

筛积性函数的前缀和，复杂度 \(\mathcal{O}(n^{0.666\cdots})\)。

\[\sum_{n=1}^{N} (f*g)(n)=\sum_n\sum_{i\mid n} g(i)f(\dfrac{n}{i})\\ =\sum_i g(i)\sum_{n=1}^{\frac{N}{i}}f(n) \]

此时 \(S_f(n)\) 已经可以求。

\(g\) 的选择可以待定系数法。

1. 计算 \(\sum_i \phi(i)⋅i\)，取 \(g(i)=i\) 即可。
2. 计算 \(\sum_i \phi(i)i^2\)，取 \(g(i)=i^2\)。

矩阵相关

高斯消元 / 矩阵求逆 / 行列式求值

本质都是消元。

矩阵乘法不满足交换律。

矩阵求逆

求 \(A^{-1}\)，\(A\times A^{-1}=I\)，且 \(A^{-1}\times A=I\)。

矩阵求逆。

证明：

考虑矩阵 \(A\times B=C\)。

有性质：

• 将 \(A\) 一行 \(\times v\)，\(C\) 同一行也 \(\times v\)，仍有 \(A\times B=C\)。
• 将 \(A\) 一行对于减去另一行，\(C\) 同样操作，仍有 \(A\times B=C\)。

求 \(A^{-1}\)，拼接 \([A\ I]\)，消得 \([I\ A^{-1}]\)。

消前有 \(I\times A=A\)。由于消元的每一步都同样满足大矩阵的右半边 \(\times A=\) 左半边，最后有 \(A^{-1}\times A=I\)。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/113138069

有 \(A\times A^{-1}=I\)。

行列式求值

求

\[\text{det}(A)=|A|=\sum_p (-1)^{τ(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i} \]

\(τ(p)\)：逆序对数。

也就是从每一行选不重复的一列，元素的积的和。

可以用类似的方法消元得到。

拉格朗日插值

性质：\(\sum_i i^k\) 是 \(k+1\) 次多项式。

素数相关

Miller-Rabbin 快速素性检验

const int prm[523] = {2, 3, 5, 13, 17, 31, 37};
bool MR(int x, int p) {
	if (x == p) return 1;
	if (x % p == 0) return 0;
	if (power(p, x - 1, x) != 1) return 0;
	int h = x - 1;
	while (h % 2 == 0) {
		h >>= 1; int t = power(p, h, x);
		if (t != 1 && t != x - 1) return 0;
		if (t == x - 1) break;
	}
	return 1;
}
bool chk(int n) {
	if (n <= 1) return 0;
	for (int i = 0; i < 7; i++) {
		if (!MR(n, prm[i])) return 0;
	}
	return 1;
}

Pollard-Rho

咕！

组合计数

*组合恒等式

• \(\dbinom{n}{i}=\dbinom{n}{n-i}\)
• \(\sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i}=2^n\)
• \(\dbinom{n}{x}\dbinom{x}{y}=\dbinom{n}{y}\dbinom{n-y}{x-y}\)
• 平行恒等式：\(\sum_{i=0}^n\dbinom{i}{r}=\dbinom{r}{r}+\dbinom{r+1}{r}+\dbinom{r+2}{r}+\cdots+\dbinom{n}{r}=\dbinom{n+1}{r+1}\)
• 斜升恒等式：\(\sum_{i=0}^n\dbinom{r+i}{i}=\dbinom{r+n+1}{n}\)

练习：

• \(\sum_{i=1}^n\dbinom{n}{i}^2=\dbinom{2n}{n}\)

错排

\(f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))\)。

卡特兰数

长度为 \(2n\) 的括号序列个数。

\(C(n)=\dbinom{2n}{n}+\dbinom{2n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(2n)!}{(n+1)!n!}\)。

通过 \(y=-1\) 这条直线翻转映射证明。

这是一类映射思想：折线法。

斯特林数

第一类斯特林数

\(s(n,k)=\) 将 \(n\) 个两两不同的元素，划分为 \(k\) 个互不区分的非空圆排列的方案数。

\(s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)\cdot s(n-1,k)\)。

第二类斯特林数

\(S(n,k)=\) 将 \(n\) 个两两不同的元素，划分为 \(k\) 个互不区分的非空集合的方案数。

\(s(n,k)=s(n-1,k-1)+k\cdot s(n-1,k)=\dfrac{1}{k!}\sum_{i=0}^k (-1)^i\dbinom{k}{i}(k-i)^n\)。