【矩阵专题】——矩阵加速

今天来讲矩阵加速：

　　例题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1939

　　如果一个个去求就会T掉，所以我们使用矩阵加速。

　　矩阵加速是用来解决一些与递推式有关的问题，形如f(x)=a(x)p₁+a(x-1)p₂+……+a(x-k)p_k（已知几个初项）

 我们可以建立一个矩阵：

 

 这个时候，我们发现中间那一个数字组成的矩阵会重复多次计算，这个过程可以用矩阵快速幂解决。

因此，对于，我们可以：

 

用快速幂解决中间部分，最后与初项相乘，可得到a_n。

这个推理的部分，可以尝试在纸上解决。

上代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,num,answer;
const ll mod=1e9+7;
struct matrix{
    ll a[5][5];
    void Empty(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void One(){
        Empty();
        for(int i=1;i<=3;i++) a[i][i]=1;
    }
    void reset(){
        Empty();
        a[1][1]=a[1][3]=a[2][1]=a[3][2]=1;
    }
    matrix operator*(matrix b){
        matrix tmp;
        tmp.Empty();
        for(int i=1;i<=3;i++){
            for(int j=1;j<=3;j++){
                for(int k=1;k<=3;k++){
                    (tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%=mod;
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
}res,ans;
void pow(ll p){
    res.reset();
    ans.One();
    while(p){
        if(p&1){
            ans=ans*res;
        }
        res=res*res;
        p>>=1;
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>num;
        if(num<4){
            cout<<1<<endl;
            continue;
        }
        pow(num-3);
        answer=(ans.a[1][1]%mod+ans.a[2][1]%mod+ans.a[3][1]%mod)%mod;
        cout<<answer<<endl;
    }
    return 0;
}