算法第一课：复杂度引入

算法复杂度

算法复杂度分两种，时间复杂度和空间复杂度。分别代表了算法的用时，以及算法所占用的内存空间。复杂度越小，运行效率越高。

复杂度表示法

一般用大写字母 \(O\) 表示，称为大 \(O\) 表示法。比如 \(O(n)\)，\(O(n^2)\) 等。这里的 \(n\) 代表了算法的输入规模，比如数组的长度，链表的长度等。\(n\) 和 \(n^2\) 表示了算法的复杂度，\(n\) 表示线性复杂度，\(n^2\) 表示平方复杂度。

复杂度分级

常见的复杂度，按照性能从高到低排序如下：

1. 常数阶 \(O(1)\)
2. 对数阶 \(O(logn)\)
3. 线性阶 \(O(n)\)
4. 线性对数阶 \(O(nlogn)\)
5. 平方阶 \(O(n^2)\)
6. 立方阶 \(O(n^3)\)
7. K 次方阶 \(O(n^k)\)
8. 指数阶 \(O(2^n)\)
9. 阶乘阶 \(O(n!)\)
10. 无穷阶 \(O(n^n)\)

时间复杂度分析

举例说明：

如果一个算法的运行时间固定的，也就是无论数据多大，运行时间都是一样的，那么这个算法的时间复杂度就是 \(O(1)\)。比如一个数组，长度为 \(n\)，那么取出数组中的第一个元素，时间复杂度就是 \(O(1)\)。

比如一个数组，长度为 \(n\)，那么遍历这个数组，时间复杂度就是 \(O(n)\)。如果遍历两次，那么时间复杂度就是 \(O(2n)\)，但是常数阶可以忽略，所以时间复杂度还是 \(O(n)\)。如果遍历两个数组，那么时间复杂度就是 \(O(n+m)\)，也可以忽略常数阶，所以时间复杂度还是 \(O(n)\)。

如果遍历一个二维数组，那么时间复杂度就是 \(O(n^2)\)。如果遍历一个三维数组，那么时间复杂度就是 \(O(n^3)\)。如果遍历一个 \(n\) 维数组，那么时间复杂度就是 \(O(n^n)\)。

如果是一个二分查找算法，它的时间复杂度就是 \(O(logn)\)。之所以会出现对数，是因为每次查找都会把数组长度缩小一半，所以运行次数 \(k\) 满足 \(2^k=n\)，所以 \(k=logn\)。

空间复杂度分析

如果一个算法的内存占用是固定的，也就是无论数据多大，内存占用都是一样的，那么这个算法的空间复杂度就是 \(O(1)\)。

如果一个算法的内存占用和数据规模成正比，那么这个算法的空间复杂度就是 \(O(n)\)。比如一个数组，长度为 \(n\)，要求这个数组的前缀和，那么就需要一个长度为 \(n\) 的数组来存储前缀和，所以空间复杂度就是 \(O(n)\)。

此外要注意的是空间复杂度在涉及到关于递归的算法时，要考虑到递归调用的栈空间，比如一个递归函数，每次递归都会调用自身，那么递归的次数就是 \(n\)，所以空间复杂度就是 \(O(n)\)。

在递归算法中，我们一般主要考虑时间复杂度，对于空间复杂度相比之下不是很关注。但在极端情况下仍然需要记得考虑这种情况。