LOJ 2541 「PKUWC2018」猎人杀——思路+概率+容斥+分治

题目：https://loj.ac/problem/2541

看了题解才会……有三点很巧妙。

1.分母如果变动，就很不好。所以考虑把操作改成 “已经选过的人仍然按 \( w_i \) 的概率被选，但是再次选中一个已经选过的人算作没有操作” 。

2.然后要容斥，考虑强制点集 S 的人在 1 号点之后被选、其余随意，那么

　　\( ans=\sum\limits_{S} (-1)^{|S|} \sum\limits_{i=0}^{\infty} (1-\frac{w_1 + w_S}{A})^i \frac{w_1}{A} \)

　　（其中 A 表示 \( \sum\limits_{i=1}^{n} w_i \) ，\( w_S \) 表示 \( \sum\limits_{i \in S} w_i \) ）

　　等比数列求和一下，就是 \( ans=\sum\limits_{S} (-1)^{|S|} \frac{w_1}{w_1+w_S} \)

3.注意到 \( \sum w <=1e5 \) ，所以考虑把那个式子里的分母看做多项式的次数！

　　那么算一个 \( \prod\limits_{i=2}^{n} (1-x^{w_i}) \)（这是考虑选出一个点集 S 的过程）

　　然后就是取 \( x^i \) 的系数 \( a_i \) ，给答案贡献 \( \frac{a_i}{w_1+i} \) ，最后答案再乘一个 \( w_1 \) 。

算那个连乘的式子，可以普通地分治。但注意到含有 k 个 w 的乘积式子的次数不是 k ，所以复杂度不是 \( T(n)=T(n/2)+O(nlogn) \) 。（可能是 n²logn？）

反正把 w 排个序再做就能了。不知道不排序是否也可以。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define vi vector<int>
#define ll long long
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
const int N=1e5+5,M=(1<<17)+5,mod=998244353;
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<0)x+=mod;return x;}
int pw(int x,int k)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}

int n,w[N],len,r[M],wn[M],wn2[M],inv[M];
void ntt_pre(int n)
{
  for(len=1;len<=n;len<<=1);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      wn[R]=pw(3,(mod-1)/R);
      wn2[R]=pw(3,(mod-1)-(mod-1)/R);
      inv[R]=pw(R,mod-2);
    }
}
void ntt(vi &a,bool fx)
{
  for(int i=0;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      int Wn=fx?wn2[R]:wn[R];
      for(int i=0,m=R>>1;i<len;i+=R)
    for(int j=0,w=1;j<m;j++,w=(ll)w*Wn%mod)
      {
        int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+m+j]%mod;
        a[i+j]=upt(x+y); a[i+m+j]=upt(x-y);
      }
    }
  if(!fx)return;  int iv=inv[len];
  for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*iv%mod;
}
vi solve(int L,int R)
{
  if(L==R)
    {
      vi ret; ret.resize(w[L]+1);
      ret[0]=1; ret[w[L]]=-1;
      return ret;
    }
  int mid=L+R>>1;
  vi a=solve(L,mid), b=solve(mid+1,R);
  int lm=a.size()-1+b.size()-1;
  for(len=1;len<=lm;len<<=1);
  for(int i=0,j=len>>1;i<len;i++)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)+((i&1)?j:0);
  a.resize(len); b.resize(len);
  ntt(a,0); ntt(b,0);
  for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,1);
  a.resize(lm+1);
  return a;
}
int main()
{
  n=rdn(); int sm=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    { w[i]=rdn(); if(i>1)sm+=w[i];}//if!!!
  ntt_pre(sm);
  sort(w+2,w+n+1);//
  vi f=solve(2,n); int ans=0;
  for(int i=0;i<=sm;i++)
    if(f[i])ans=(ans+(ll)f[i]*pw(upt(w[1]+i),mod-2))%mod;
  ans=(ll)ans*w[1]%mod;
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}