LOJ 2554 「CTSC2018」青蕈领主——结论(思路)+分治FFT

题目:https://loj.ac/problem/2554

一个“连续”的区间必然是一个排列。所有 r 不同的、len 最长的“连续”区间只有包含、相离,不会相交,不然整个是一个“连续”区间。

只有包含、相离,可以看出一个树形结构。直接暴露在自己区间里的小区间(即没有被其他小区间包含)就是自己的孩子。

每个孩子的值是一个区间,自己的值也是一个区间,不同孩子的区间不能融合,所以每个孩子看成一个点,自己的右端点也是一个点,值就是一个长度为 “孩子个数+1” 的合法排列。合法指的是除了最后一个位置的 len 是区间长度,其他位置的 len 都是 1 。

令 f[ i ] 表示长度为 ( i+1 ) 的合法方案。答案就是 \( \prod\limits_{i} f[ ct[i] ] \) ,其中 ct[ i ] 表示 i 区间的孩子个数。

有一个关于 f[ i ] 的递推式: \( f[1]=2, f[n]=(n-1)f[n-1]+\sum\limits_{i=2}^{n-2}(i-1)f[i]f[n-i] \)

那么可以分治 FFT 来求 f[ ]  。

关于证明,洛谷题解的第一篇(2019.1.17那一篇)说得很好:https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4566

以下就是上面题解的复述:

考虑从 f[ n-1 ] 转移到 f[ n ] ,即从长度为 n 的排列转移到长度为 n+1 的排列。

先转换一下。“连续”区间只能是包含最后一个位置的。把 “值” 和 “位置” 反一下,“连续”区间只能是包含最大值的。

1.原来就是合法的。那么把原来的值改成 [ 2 , n+1 ] ,再把 1 找一个位置插入。长为 n ,有 (n+1) 个位置可以插入,但不能插入在 2 的两侧,所以就是 (n-1) 个位置。

  这样插入之后,序列还是合法的。不然,不合法序列的值一定是 [ 1, x ] ,那么把 1 拿走,原来(+1之前)的值就是 [ 1 , x-1 ] ,即原来就是不合法的。

2.原来是不合法的。

  考虑加入 1 之后变成合法的。只能有 1 个 “没有经过最大值的连续区间” ,再多的话就无法通过插入一个数来使序列变合法。

  设这个区间的长度是 L 。

  (1)它的值是连续的。

    考虑取值,设为 [ x , x+L-1 ] (所有值是 [ 2 , n+1 ])。它不经过最大值,所以 x+L-1 <= n ;它不能含有 2 ,否则加入 1 之后还是连续的,所以 x>2 ,解得 2 < x <= n-L+1 ,所以它的取值有 ( n-L-1 ) 种。

  (2)插入一个 1 之后,它就是合法的。

    这个 1 不会和区间里的任意一个值相邻。所以这个 1 两边的部分可以是 “连续” 的,然后用 1 隔开。

    也就是说,这个 1 可以被原来的 “连续” 区间随便经过。考虑到 f[ ] 表示的是最大值可以被 “连续” 区间随便经过,所以不妨认为 1 就是这个区间里的最大值。

    这样,这个区间可以视作长度为 L+1 的排列。合法方案是 f[ L ] 。f[ L ] 里包含的方案,不经过 1 的部分一定不 “连续” , 经过 1 的部分可以 “连续” ,刚好符合。

  (3)整个序列只有一个 “没有经过最大值的区间” 。

    刚才那个长度为 L 的区间确定好方案,可以缩成一个点。其他位置和该点一共 ( n-L+1 ) 个点。使用 f[ n-L ] 即可。

    f[ n-L ] 里包含的方案,就是不看刚才那个长度为 L 的区间的话,没有其他不合法的 “连续” 区间。

    刚才那个插入了 1 以后的区间,在 n-L+1 个点里的取值,可以看做是去掉 1 的最小值的排名,即 [ x , x+L-1 ] 这个值域在整个 [ 2 , n+1 ] 里的排名。

    去掉 1 来看不会有问题。因为如果 1 有影响使得在 f[ n-L ] 里的方案因为有了 1 而不合法,用类似 “1.” 里的方法可以证明。

  (4) L 的长度范围是 [ 2 , n-2 ] 。

     L 不能是 1 ,不然该区间合法。 x 的取值是 2 < x <= n-L+1 ,需要 n-L+1 > 2 ,所以 L < n-1 。这是在说 L 如果太长,就不能满足 “不过最大值” 又 “不含 2 ” 了。

自己的分治 FFT 似乎总是较慢。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
const int N=5e4+5,M=(1<<17)+5,mod=998244353;
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<0)x+=mod;return x;}
int pw(int x,int k)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}

int n,f[N],g[N],len,a[M],b[M],r[M],inv[M],wn[M],wn2[M];
struct Node{
  int l,r;
  Node(int l=0,int r=0):l(l),r(r) {}
}sta[N];
void init()
{
  for(len=1;len<(n<<1);len<<=1);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      inv[R]=pw(R,mod-2);
      wn[R]=pw(3,(mod-1)/R);
      wn2[R]=pw(3,(mod-1)-(mod-1)/R);
    }
}
void ntt(int *a,bool fx)
{
  for(int i=0;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      int Wn=fx?wn2[R]:wn[R];
      for(int i=0,m=R>>1;i<len;i+=R)
    for(int j=0,w=1;j<m;j++,w=(ll)w*Wn%mod)
      {
        int x=a[i+j], y=(ll)w*a[i+m+j]%mod;
        a[i+j]=upt(x+y); a[i+m+j]=upt(x-y);
      }
    }
  if(!fx)return; int iv=inv[len];
  for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*iv%mod;
}
void solve(int L,int R)
{
  if(L==R)
    {
      if(L==1)f[L]=2;
      else
    {
      f[L]=(f[L]+(ll)(L-1)*f[L-1])%mod;
      f[L]=upt(f[L]-(ll)(L-2)*f[1]%mod*f[L-1]%mod);
    }
      g[L]=(ll)(L-1)*f[L]%mod; return;
    }
  int mid=L+R>>1; solve(L,mid);
  int d2=R-L+1,d=mid-L+1;
  for(len=1;len<d+d2;len<<=1);
  for(int i=0,j=len>>1;i<len;i++)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)+((i&1)?j:0);

  int i,j;
  for(i=0,j=L;j<=mid;i++,j++)a[i]=f[j]; for(;i<len;i++)a[i]=0;
  for(i=0,j=L;j<=R;i++,j++)b[i]=g[i+1]; for(;i<len;i++)b[i]=0;
  ntt(a,0); ntt(b,0);
  for(i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,1);
  for(i=mid+1,j=i-L-1;i<=R;i++,j++)f[i]=upt(f[i]+a[j]);
  if(L!=1)
    {
      for(i=0,j=L;j<=mid;i++,j++)a[i]=g[j]; for(;i<len;i++)a[i]=0;
      for(i=0,j=L;j<=R;i++,j++)b[i]=f[i+1]; for(;i<len;i++)b[i]=0;
      ntt(a,0); ntt(b,0);
      for(i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
      ntt(a,1);
      for(i=mid+1,j=i-L-1;i<=R;i++,j++)f[i]=upt(f[i]+a[j]);
    }
  solve(mid+1,R);
}
int main()
{
  int T=rdn(); n=rdn();
  init(); solve(1,n); f[0]=1;
  while(T--)
    {
      int top=0,ans=1; bool fg=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      int tl=i-rdn()+1, ct=0;
      if(i==n&&tl!=1)fg=1; if(fg)continue;
      while(top&&sta[top].l>=tl) top--,ct++;
      if(top&&sta[top].r>=tl)fg=1;
      sta[++top]=Node(tl,i);
      ans=(ll)ans*f[ct]%mod;
    }
      if(fg)puts("0"); else printf("%d\n",ans);
    }
  return 0;
}

 

posted on 2019-05-07 16:28  Narh  阅读(308)  评论(0编辑  收藏

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