LOJ 2547 「JSOI2018」防御网络——思路+环DP
题目：https://loj.ac/problem/2547
一条树边 cr->v 会被计算 ( n-siz[v] ) * siz[v] 次。一条环边会被计算几次呢？于是去写了斯坦纳树。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> #define ll long long using namespace std; int rdn() { int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar(); return fx?ret:-ret; } int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;} int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;} const int mod=1e9+7; int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<0)x+=mod;return x;} int pw(int x,int k) {int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;} int n,m; namespace S1{ const int N=10,M=(1<<8)+5; int hd[N],xnt,to[N<<2],nxt[N<<2]; int bin[N],dp[N][M],dis[N][N]; bool vis[N]; queue<int> q; void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;} void init() { for(int i=1;i<=n;i++) { memset(vis,0,sizeof vis); q.push(i); vis[i]=1; while(q.size()) { int k=q.front(); q.pop(); for(int i=hd[k],v;i;i=nxt[i]) if(!vis[v=to[i]]) { vis[v]=1;dis[i][v]=dis[i][k]+1;q.push(v);} } } bin[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1; } void solve() { for(int i=1,u,v;i<=m;i++) u=rdn(),v=rdn(),add(u,v),add(v,u); init(); memset(dp,0x3f,sizeof dp); for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][bin[i-1]]=0; int ans=0; for(int s=1;s<bin[n];s++) { for(int i=1;i<=n;i++) for(int t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s) dp[i][s]=Mn(dp[i][s],dp[i][t]+dp[i][s^t]); for(int i=1;i<=n;i++)q.push(i),vis[i]=1; while(q.size()) { int k=q.front(); q.pop(); vis[k]=0; for(int i=hd[k],v;i;i=nxt[i]) if(dp[v=to[i]][s]>dp[k][s]+1) { dp[v][s]=dp[k][s]+1; if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1; } } int mn=dp[1][s]; for(int i=2;i<=n;i++)mn=Mn(mn,dp[i][s]); ans=upt(ans+mn); } ans=(ll)ans*pw(bin[n],mod-2)%mod; printf("%d\n",ans); } } int main() { n=rdn();m=rdn(); if(n<=8){S1::solve();return 0;} return 0; }
不应从每条环边的角度考虑，而要从每个环的角度考虑。思维还是不足。
想算一个环上有 len 条边被选的方案。
记一个“环外子树（含自己这点）中有点被选的环上点” 为 “被选的点” 。
首先考虑如果有一个选点方案，这个环会被怎么选边。为了把点都连通，被选的点两两之间应该连通。
所以环上没被选的边一定是最远的两个相邻的被选的点之间的部分。
想求一个环 “最远相邻被选点的间隔为 len ” 的方案。注意到 “最远相邻被选点的间隔 <=len ”的方案容易 DP 。
断环成链，dp[ i ][ j ] 表示 i 点和 j 点要选，[ i , j ] 之间被选点间隔 <=len 的方案。则 \( dp[i][j]=f[j]*\sum\limits_{k=j-len}^{j-1}dp[i][k] \) ，其中 \( f[j] \) 是选 j 点的方案，即 ( 2环外子树大小 -1 ) 。
前缀和优化即可。对于一个 len ，合法的 dp[ i ][ j ] 应该满足 (cnt - j) + i <=len （cnt 是环点个数）。把这些加到 g[ len ] 上，用 (cnt-len) * (g[ len ] - g[ len-1 ]) 贡献答案即可。
求环外子树大小要小心。注意清空数组。注意分辨不同的环。可以给环最浅的点打标记，特殊求该点的环外子树大小。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;} int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;} const int N=205,M=N<<2,mod=1e9+7; int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<0)x+=mod;return x;} int pw(int x,int k) {int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;} int n,m,hd[N],xnt,to[M],nxt[M],spe[N]; int dp[N],pr[N],f[N],g[N],siz[N],ans,bin[N]; int tim,dfn[N],low[N],sta[N],top,cnt,col[N],qnt,q[N]; bool vis[N],ins[N]; void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;} void tarjan(int cr,int fa) { dfn[cr]=low[cr]=++tim; sta[++top]=cr; ins[cr]=1; siz[cr]=1; for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i]) if((v=to[i])!=fa) { if(!dfn[v]) {tarjan(v,cr);low[cr]=Mn(low[cr],low[v]);siz[cr]+=siz[v];} else if(ins[v])low[cr]=Mn(low[cr],dfn[v]); } if(dfn[cr]==low[cr]) { if(sta[top]==cr){ins[cr]=0;top--;return;} cnt++; do{int v=sta[top];ins[v]=0;col[v]=cnt;}while(sta[top--]!=cr); spe[cr]=fa;//fa can be 0 but no influence } } void dfsx(int cr) { q[++qnt]=cr; vis[cr]=1; int id=qnt; for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i]) if(!vis[v=to[i]]&&col[v]==col[cr])dfsx(v);//col== else if(col[v]!=col[cr]&&v!=spe[cr])//include !col f[id]+=siz[v];//col!= not !col//v!=spe[cr] if(spe[cr]) f[id]+=n-siz[cr];//+= not =//n-siz[cr] not spe-siz[cr] f[id]++; } void solve(int cr) { for(int i=1;i<=qnt;i++)f[i]=0; qnt=0;//f[i]=0//qnt=0 dfsx(cr); for(int len=1;len<=qnt;len++) { g[len]=0; for(int i=1;i<=len;i++) { dp[i]=bin[f[i]]; pr[i]=dp[i]; pr[i-1]=0; int lm=qnt-len+i; if(i>=lm)g[len]=upt(g[len]+dp[i]); for(int j=i+1;j<=qnt;j++) { dp[j]=(ll)upt(pr[j-1]-pr[Mx(i,j-len)-1])*bin[f[j]]%mod; pr[j]=upt(pr[j-1]+dp[j]); if(j>=lm)g[len]=upt(g[len]+dp[j]); } } } for(int len=1;len<qnt;len++) ans=(ans+(ll)(qnt-len)*upt(g[len]-g[len-1]))%mod; } void dfs(int cr) { if(col[cr]&&!vis[cr])solve(cr); ins[cr]=1;//not use vis again for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i]) if(!ins[v=to[i]]) { if(col[cr]!=col[v]||!col[cr]) //col!= not !col||!col//also !col ans=(ans+(ll)bin[siz[v]]*bin[n-siz[v]])%mod; dfs(v); } } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u); bin[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=upt(bin[i-1]<<1); for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=upt(bin[i]-1);// tarjan(1,0); dfs(1); ans=(ll)ans*pw(bin[n]+1,mod-2)%mod; printf("%d\n",ans); return 0; }
