[Luogu 1410]子序列

Description

给定一个长度为N（N为偶数）的序列，问能否将其划分为两个长度为N/2的严格递增子序列，

Input

若干行，每行表示一组数据。对于每组数据，首先输入一个整数N，表示序列的长度。之后N个整数表示这个序列。

Output

同输入行数。对于每组数据，如果存在一种划分，则输出“Yes!”，否则输出“No!“。

Sample Input

6 3 1 4 5 8 7
6 3 2 1 6 5 4

Sample Output

Yes!
No!

HINT

共三组数据，每组数据行数<=50，0 <= 输入的所有数 <= 10^9

第一组(30%)：N <= 20

第二组(30%)：N <= 100

第三组(40%)：N <= 2000

题解

在前$i$位中找长$j$位的以第$i$位结尾的上升子序列（我们设这个为序列$A$），并且剩下的也是上升子序列（设这个为序列$B$），那么$f[i][j]$表示剩下的（即前i位中长$i-j$位的不以第$i$位结尾的）上升子序列（即序列$B$）的最后一位的最小值。

注意：$A$一定是以最后一个数结尾的。

然后转移：

如果$a[i]<a[i+1]$，那么$f[i+1][j+1] = min(f[i+1][j+1], f[i][j])$，意思就是将$a[i+1]$接在序列$A$后，相当于可以直接把$f[i][j]$扩展到第$i+1$位。

如果$f[i][j]<a[i+1]$，那么$f[i+1][i-j+1] = min(f[i+1][i-j+1], a[i])$，意思是将$a[i+1]$接在$B$后，相当于第$i+1$继承前$i$位中$i-j$位长的上升子序列，此时$B$序列的某尾为最后一个数，那么我们就要$swap(A,B)$。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime> 
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 2000;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}

int n, a[N+5];
int f[N+5][N+5];

void work() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        read(a[i]);
    memset(f, 127, sizeof(f));
    int INF = f[0][0];
    f[1][1] = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            if (f[i][j] != INF) {
                if (a[i] < a[i+1]) f[i+1][j+1] = Min(f[i+1][j+1], f[i][j]);
                if (f[i][j] < a[i+1]) f[i+1][i+1-j] = Min(f[i+1][i+1-j], a[i]);
            }
    printf(f[n][n/2] == INF ? "No!\n" : "Yes!\n");
}
int main() {
    while (~scanf("%d", &n))
        work();
    return 0;
}