[HNOI 2011]数学作业

Description

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 N 和 M，要求计算 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 ..N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。例如，N = 13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213.小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

Input

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足1≤N≤1000000；100%的数据满足1≤N≤1018且1≤M≤109.

Output

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。

Sample Input

13 13

Sample Output

4

题解

首先写出递推关系式：令 $s_i$ 为前 i 个数连接得到的数,$c(i)$ 表示 $i$ 的位数,有

$s_i=10^{c(i)}×s_{i−1}+i$

$c(i)$ 随 $i$ 变化,无法在转移矩阵 $T$ 中表示。如果 $c(i)$ 固定,就可以矩阵优化了!

考虑位数随着 $i$ 的变化最多只会变化 $18$ 次,因此可以按位数分段进行矩阵快速幂。
枚举位数,那么有

这里在状态矩阵中加了一个永远为 $1$ 的值,用于辅助 $i$ 每次加一。

#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define RE register
#define IL inline
 using namespace std;

LL n,m;
struct mat
{
    LL a[3][3];
    mat(){for (int i=0;i<3;i++)for (int j=0;j<3;j++) a[i][j]=0;}
    mat operator * (const mat&b)
    {
        mat ans;
        for (int i=0;i<3;i++)
            for (int j=0;j<3;j++)
                for (int k=0;k<3;k++)
                    ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+(a[i][k]*b.a[k][j])%m)%m;
        return ans;
    }
}S;

int main()
{
    S.a[0][1]=S.a[0][2]=1;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    LL now=0;
    for (LL s=10;now<n;s*=10)
    {
        mat T;
        T.a[1][0]=T.a[1][1]=T.a[2][1]=T.a[2][2]=1;
        T.a[0][0]=s%m;
        LL nd=min(s-1,n)-now;
        while (nd)
        {
            if (nd&1) S=S*T;
            T=T*T;
            nd>>=1;
        }
        now=min(s-1,n);
    }
    printf("%lld\n",S.a[0][0]);
    return 0;
}