[POI 2011]Lightning Conductor

Description

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给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$。对于每个 $i\in[1,n]$,你需要找到最小的整数 $p$,使得 $p\geq\max\limits_{1\leq j\leq n}\left{a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}\right}$。

$1\leq n\leq 5\cdot 10^5,0\leq a_i\leq 10^9$

Solution

设 $f_i$ 表示对应的 $p$。

显然 $f_i=\max\limits_{1\leq j\leq n}\left{a_j+\sqrt{|i-j|}\right}-a_i$。将绝对值拆开,我们先只考虑 $\max\limits_{1\leq j\leq i}\left{a_j+\sqrt{i-j}\right}-a_i$ 的部分。

首先观察 $\max$ 括号内的式子,记该式子为 $w(i,j)$。可以发现,$\forall a,b,c,d, a<b<c<d,w(a,d)+w(b,c)\leq w(a,c)+w(b,d)$。

证明
要证明 $w(a,d)+w(b,c)\leq w(a,c)+w(b,d)$
只需证 $\sqrt{d-a}+\sqrt{c-b}\leq \sqrt{c-a}+\sqrt{d-b}$
不等号两边同时平方,整理得 $\sqrt{(d-a)(c-b)}\leq \sqrt{(c-a)(d-b)}$
等价于 $(d-a)(c-b)\leq (c-a)(d-b)$
等价于 $-ac-bd\leq -ad-cb$
由排序不等式,显然成立。

故因此 $w$ 满足“$\leq$ 型”的排序不等式,并且 DP 是取 $\max$ 值的。因此 $f$ 的最优决策点是满足决策单调性的。因此可以用 CDQ 分治在 $O(n\log n)$ 的复杂度内解决。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+5;

int n, a[N];
double f[N], ans[N];

void cdq(int l, int r, int L, int R) {
    int MID = (L+R)>>1, mid, loc = MID;
    if (r < loc) loc = r;
    mid = loc; f[MID] = sqrt(1.*MID-loc)+a[loc]-a[MID];
    for (int i = l; i < loc; i++)
        if (a[i]-a[MID]+sqrt(1.*MID-i) >= f[MID])
            mid = i, f[MID] = sqrt(1.*MID-i)+a[i]-a[MID];
    if (L < MID) cdq(l, mid, L, MID-1);
    if (MID < R) cdq(mid, r, MID+1, R);
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    cdq(1, n, 1, n);
    swap(ans, f);
    reverse(a+1, a+n+1);
    cdq(1, n, 1, n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d\n", int(ceil(max(ans[i], f[n-i+1]))));
    return 0;
}
posted @ 2020-02-20 22:15  NaVi_Awson  阅读(328)  评论(0编辑  收藏  举报