[APIO 2010]特别行动队

Description

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给你一个长度为 $n$ 的序列 $x$，你可以把这份序列划分为任意多份。如果某一份的 $x$ 的和为 $X$，那么这一份的价值为 $aX^2+bX+c$。问你划分后得到的最大价值为多少。

$1\leq n\leq 10^6,-5\leq a\leq -1,|b,c|\leq 10^7,1\leq x_i\leq 100$

Solution

设 $f_i$ 为 $1\sim i$ 划分后得到的最大价值。

我们对序列 $x$ 做一个前缀和 $s$，那么 $f_i=\max\limits_{1\leq j<i}{f_j+a(s_i-s_j)^2+b(s_i-s_j)+c}$。

把后面的式子完全拆开 $f_i=f_j+as_i^2-2as_is_j+as_j^2+bs_i-bs_j+c$。由于 $w(j, i)=as_i^2-2as_is_j+as_j^2+bs_i-bs_j+c$ 满足四边形不等式 $a\leq b\leq c\le d$，有 $w(a,d)+w(b,c)\leq w(a,c)+w(b,d)$。

这是一个含 $i,j$ 和 $ij$ 项的式子，并且 $-2as_i$ 与 $s_j$ 单调性相同，因此是可以斜率优化的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6+5;

int n, x[N], a, b, c, q[N], head, tail;
ll f[N];

ll caly(int i) {return 1ll*a*x[i]*x[i]-1ll*b*x[i]+f[i]; }
int main() {
    scanf("%d%d%d%d", &n, &a, &b, &c);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &x[i]), x[i] += x[i-1];
    q[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (head < tail && caly(q[head+1])-caly(q[head]) >= 2ll*a*x[i]*(x[q[head+1]]-x[q[head]])) ++head;
        f[i] = f[q[head]]+1ll*a*(x[i]-x[q[head]])*(x[i]-x[q[head]])+1ll*b*(x[i]-x[q[head]])+c;
        while (head < tail && (caly(q[tail])-caly(i))*(x[q[tail-1]]-x[i]) >= (caly(q[tail-1])-caly(i))*(x[q[tail]]-x[i]))
            --tail;
        q[++tail] = i;
    }
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}