[POJ 3233]Matrix Power Series

Description

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给定 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 和正整数 $k$，求和 $\mathbf{T}=\mathbf{A}+\mathbf{A}^2+\mathbf{A}^3+\cdots+\mathbf{A}^k$。矩阵元素对 $m$ 取模。

$n \leq 30,k\leq 10^9,m<10^4$

Solution

像一些数列的前 $n$ 项和很容易想到用矩阵快速幂实现。

而对于等比矩阵的前 $n$ 项和我们同样设法用矩阵实现。

我们记矩阵 $$\mathbf S=\begin{bmatrix}\mathbf A &\mathbf E\0&\mathbf E\\end{bmatrix}$$

其中 $\mathbf E$ 为单位矩阵。

可知 ${\mathbf S}^2=\begin{bmatrix}\mathbf A^2 &\mathbf A+\mathbf E\0&\mathbf E\\end{bmatrix},{\mathbf S}^3=\begin{bmatrix}\mathbf A^3 &\mathbf A^2+\mathbf A+\mathbf E\0&\mathbf E\\end{bmatrix},\cdots,{\mathbf S}^{k+1}=\begin{bmatrix}\mathbf A^{k+1} &\mathbf A^k+\mathbf A^{k-1}+\cdots+\mathbf A^2+\mathbf A+\mathbf E\0&\mathbf E\\end{bmatrix}$

故答案为 ${\mathbf S}^{k+1}$ 的右上角矩阵减去一个单位矩阵。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 65;

int n, k, m;
struct mat {
    int a[N][N];
    mat() {memset(a, 0, sizeof(a)); }
    mat operator * (const mat &b) const {
        mat ans;
        for (int i = 1; i <= (n<<1); i++)
            for (int j = 1; j <= (n<<1); j++)
                for (int k = 1; k <= (n<<1); k++)
                    (ans.a[i][j] += (a[i][k]*b.a[k][j])) %= m;
        return ans;
    }
} S, E;

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &S.a[i][j]), S.a[i][j] %= m;
        S.a[i][i+n] = S.a[i+n][i+n] = 1;
    }
    E = S;
    while (k) {
        if (k&1) S = S*E;
        k >>= 1, E = E*E;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) S.a[i][i+n]--;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            printf("%d%c", (S.a[i][j+n]+m)%m, " \n"[j == n]);
    return 0;
}