[Luogu 2386]放苹果

Description

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把 $n$ 个同样的苹果放在 $m$ 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分发。多测，数据组数 $t$。

$1\leq m,n\leq 10, 1\leq t\leq 20$

Solution

康复训练 $\times 3$。

下午给学弟讲课时发现了这样一道题...数据完全可以出到 $O(n^2)$ 。当然原题的意思是要用搜索做...

我们记 $f_{i,j}$ 为 $i$ 个苹果放在 $j$ 个盘子中的方案数。显然边界条件为 $\forall i,f_{0,i}=1$，理由是没有苹果时局面只有一种，即任何盘子都为空。

要注意到这样一个性质，由于盘子均相同，所以 $f_{i,j}=f_{i,i},j>i$。

对于 $\text{DP}$ 方程，考虑第 $j$ 个盘子怎么放。

1. 若第 $j$ 个盘子不放苹果，那么只需考虑 $i$ 个苹果放在 $j-1$ 个盘子中的方案数，即 $f_{i,j-1}$；
2. 若第 $j$ 个盘子放苹果，由常规套路 $\text{DP}$ 时由无序变有序，盘子放苹果数单调递减。那么如果最后一个盘子都有苹果，则所有盘子都有苹果。我们将每个盘子中的苹果数均 $-1$，就变成了一般情况。此时方案数为 $f_{i-j,j}$。

综上方程为 $f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-j,j}$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50;

int f[N][N], n, m, t;

int main() {
    for (int i = 0; i < 50; i++) f[0][i] = 1;
    for (int i = 1; i < 50; i++)
        for (int j = 1; j < 50; j++) {
            if (j > i) f[i][j] = f[i][i];
            else f[i][j] = f[i][j-1]+f[i-j][j];
        }
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d%d", &m, &n);
        printf("%d\n", f[m][n]);
    }
    return 0;   
}