[Record] 杂题选做-省选

现在属于是彻底凭兴趣随机刷题了（乐）。

CF2164F1 Chain Prefix Rank (Easy Version)

Easy Version 是水题，Hard Version 我不会（乱胡的平衡树做法假了……）。

考虑只有一条链的情况，显然给定 \(a\) 数组后，所有点的重标号是唯一确定的。进一步地，考虑一条从根节点到叶子的链，链上所有点的相对顺序也是唯一确定的。

树形 dp 进行二叉合并 \(u,v\) 时，根据以上分析，将 \(u,v\) 的公共祖先链上的所有点按照规则有唯一的重排列 \(p\) ，此时 \(u,v\) 子树内部的每个点要么插入 \(p\) 的开头结尾，要么插入 \(p\) 序列相邻两个元素的空隙中，且任意一个点插入到 \(p\) 序列的位置是唯一确定的。

因为子树内部所有点的相对顺序已经确定，因此设 \(a,b\) 分别为 \(u,v\) 子树内插入某个空隙中的数量，则二叉合并的方案数为：

\[f_u\cdot f_v\cdot\prod_{i}\binom{a_i}{a_i+b_i} \]

对子树内某个点会插入到哪个空隙的计算是可以随便乱做的。

P11714 [清华集训 2014] 主旋律

甚至是寒假的题。

强连通的情形不容易刻画，考虑正难则反，计算非强连通图的数量，也即缩点后形成点数大于 \(1\) 的 DAG 的方案数量。

唉我服了， DAG 生成子图计数的推导鬼知道我写了几回笔记了，假定看到这篇博客的人和一年后滚回来复健的我都会，反正至少我现在会。简而言之是考虑拓扑序第一层进行超集反演。

设 \(dp_S\) 为 \(S\) 所为一个 SCC 的方案数计数，先列一个式子：

\[dp_S=2^{E_{S,S}}-\sum_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}\Delta(S,T)\cdot 2^{E_{S-T,S-T}}\cdot g_T \]

按照惯例这里正常应该使用艾弗森括号展开之类的方法开始推 \(\Delta(S,T)\) 了，但这里有一个巧妙的方法，我们修改 \(g_T\) 的定义为缩成奇数个点的方案数减去缩成偶数个点的方案数，此时 \(g\) 的定义自带容斥，令 \(\Delta(S,T)=1\) 即可。

然后找到子结构进行转移，抓一个特定的点（如 \(\text{lowbit}/\text{highbit}\)），钦定它所处的 SCC 是新加入的，因此：

\[g_S=dp_S-\sum_{T\subset S\text{ and }\text{lowbit}(S)=\text{lowbit}(T)} dp_T\cdot g_{S-T} \]

如果对 \(E\) 的预处理足够优美，整个问题可以做到 \(O(3^n)\)。