[Notes] 斯特林数

阶乘幂

定义

下降阶乘幂：\(x^{\underline{n}}=\langle x\rangle_n=\prod_{i=0}^{n-1}(x-i)=\dfrac{x!}{(x-n)!}\)。

上升阶乘幂：\(x^{\overline{n}}=(x)_n=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\dfrac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\)。

广义阶乘幂（指数为负数）：

\[x^{\underline{-n}}=\frac{x!}{(x+n)!}=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x+i} \]

\[x^{\overline{-n}}=\frac{(x-n-1)!}{(x-1)!}=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x-i} \]

相关公式

阶乘幂转换：

• \((-x)^{\underline{n}}=(-1)^nx^{\overline{n}}=(-1)^n(n+x-1)^{\underline{n}}\)。
• \((-x)^{\overline{n}}=(-1)^nx^{\underline{n}}=(-1)^n(x-n+1)^{\overline{n}}\)。

阶乘幂加倍公式：

• \(x^{\underline{k}}(x-\dfrac{1}{2})^{\underline{k}}=\dfrac{(2x)^{\underline{2k}}}{2^{2k}}\)。
• \(x^{\overline{k}}(x+\dfrac{1}{2})^{\overline{k}}=\dfrac{(2x)^{\overline{2k}}}{2^{2k}}\)。

阶乘幂二项式定理：

\[\begin{align*} (x+y)^{\underline{n}}&=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\underline{i}}y^{\underline{n-i}}\\ (x+y)^{\overline{n}}&=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\overline{i}}y^{\overline{n-i}} \end{align*} \]

• 证明：转换为组合数恒等式进行证明，结合下指标范德蒙德卷积即可得到结论。
• 推论：\((x+1)^{\underline{n}}=x^{\underline{n}}+nx^{\underline{n-1}}\)。

阶乘幂区间和（离散微积分）：

\[\sum_{i=a}^{b-1}x^{\underline{n}}=\frac{b^{\underline{n+1}}-a^{\underline{n+1}}}{n+1} \]

斯特林数

方幂转下降幂

如果题目要进行差分、求和操作，或者对幂次 \(x^m\) 的底数进行平移，则考虑将方幂转换为阶乘幂求解。

两类斯特林数是方幂与阶乘幂之间的转换系数。

阶乘幂转方幂：第一类斯特林数

记第一类斯特林数为 \(s(n,k)=\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]\)。

上升幂转方幂：\(x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]x^k\)。

下降幂转方幂：\(x^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]x^k\)。

方幂转阶乘幂：第二类斯特林数

记第二类斯特林数为 \(S(n,k)=\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}\)。

方幂转下降幂：\(x^n=\sum_{k=0}^{n}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}x^{\underline{k}}\)。

方幂转上升幂：\(x^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}x^{\overline{k}}\)。

第二类斯特林数

递推式

递推式：

\[S(p,k)=\begin{cases} [p=0] & k=0,\\ 1 & p=k,\\ kS(p-1,k)+S(p-1,k-1) & k\in[1,p-1]\cap\mathbb{N} \end{cases} \]

证明（数学归纳法）：

\[\begin{align*} n^p&=n\cdot n^{p-1}=n\sum_{k=0}^{p-1}S(p-1,k)n^k\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}S(p-1,k)(n-k+k)n^{\underline{k}}\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}S(p-1,k)(n-k)n^{\underline{k}}+\sum_{k=0}^{p-1}kS(p-1,k)n^{\underline{k}}\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}S(p-1,k)n^{\underline{k+1}}+\sum_{k=0}^{p-1}kS(p-1,k)n^{\underline{k}}\\ &=\sum_{k=1}^{p}S(p-1,k-1)n^{\underline{k}}+\sum_{k=1}^{p-1}kS(p-1,k)n^k\\ &=S(p-1,p-1)n^{\underline{p}}+\sum_{k=1}^{p-1}(S(p-1,k-1)+kS(p-1,k))n^k \end{align*} \]

通项公式

通项公式：

\[S(p,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^p \]

证明：

由二项式演绎：

\[n^p=\sum_{k=0}^pS(p,k)n^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^p\binom{n}{k}a_p(k) \]

反演得到：

\[a_p(k)=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^p \]