[Notes] Prüfer 序列

概论

本质：完全图生成树与数列之间的双射。

主要用途：

• 将有标号无根树的组合计数问题转换为序列的计数问题。
• 生成树高期望为 \(O(\sqrt{n})\) 的随机树。

构建与还原

过程

构建：每次选择编号最小的叶子结点删除，并将其相连结点加入 Prüfer 序列。

还原：通过 Prüfer 序列维护当前叶子结点集合，从前往后将编号最小的叶子结点与 Prüfer 序列中结点相连，并更新叶子集合。

显然需要编号最小的叶子可以通过堆优化实现，但由于每次处理一个叶子时至多只会引入一个新的叶子结点，因此可以指针扫描线性处理（类似带删除求 \(\text{mex}\)）。

实现

代码为方便实现，将 \(n\) 号结点视为根节点，由此得出父亲数组。

int n, opt;
int p[N], fa[N], d[N];

void encode() { // 已知树形态，编码求出 Prüfer 序列
	for (int i = 1; i < n; i++) ++d[fa[i]], ++d[i];
	int ptr = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (d[i] == 1 && ptr == -1) ptr = i;
	}
	int leaf = ptr;
	for (int i = 1; i <= n-2; i++) {
		int now = fa[leaf];
		p[i] = now;
		if (--d[now] == 1 && now < ptr) {
			leaf = now;
		} else {
			++ptr;
			while (d[ptr] != 1) ++ptr;
			leaf = ptr;
		}
	}
}

void decode() { // 已知 Prüfer 序列，解码求出树形态
	for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] = 1;
	for (int i = 1; i <= n-2; i++) ++d[p[i]];
	int ptr = 1;
	while (d[ptr] != 1) ++ptr;
	int leaf = ptr;
	for (int i = 1; i <= n-2; i++) {
		fa[leaf] = p[i];
		if (--d[p[i]] == 1 && p[i] < ptr) {
			leaf = p[i];
		} else {
			++ptr;
			while (d[ptr] != 1) ++ptr;
			leaf = ptr;
		}
	}
	fa[leaf] = n;
}

* 组合计数结论

Cayley 定理

Cayley 定理：一个有标号完全图存在 \(n^{n-2}\) 棵生成树。

推论 1（广义 Cayley 定理）：\(n\) 个点形成有 \(k\) 棵树的有标号无根树森林，使得给定的 \(k\) 个点两两不属于同一棵树，此时的方案总数为 \(k\cdot n^{n-k-1}\)。

• 证明一（数学归纳法）： 结论在 \(n=1\) 时显然成立，当 \(n\geq 1\) 时，若对于 \(n-1\) 有 \(\forall 1\leq k\leq n-1,F(n-1,k)=k(n-1)^{n-k-1}\) 成立，尝试证明结论对 \(n\) 成立。
  设定理描述的方案数为 \(F(n,k)\)（\(1\leq k\leq n\)），令被钦定的 \(k\) 个点标号为 \([n-k+1, n]\)，枚举度数 \(d\) 得到递推式为：
  \[F(n,k)=\sum_{d=0}^{n-k}\binom{n-k}{d}F(n-1, k+d-1) \]
  因此有：
  \[\begin{align*} F(n,k)&=\sum_{d=0}^{n-k}\binom{n-k}{d}(k+d-1)(n-1)^{n-k-d-1}\\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{d=0}^{n-k}\binom{n-d}{d}(k-1)(n-1)^{n-k-d}+\frac{1}{n-1}\sum_{d=0}^{n-k}\binom{n-k}{d}d(n-1)^{n-k-d}\\ &=\frac{k-1}{n-1}\sum_{d=0}^{n-k}\binom{n-k}{d}(n-1)^{n-k-d}+\frac{n-k}{n-1}\sum_{d=0}^{n-k}\binom{n-k-1}{d-1}(n-1)^{n-k-d}\\ &= \frac{k-1}{n-1}\cdot n^{n-k}+\frac{n-k}{n-1}\cdot n^{n-k-1}\\ &=s\cdot n^{n-k-1} \end{align*} \]

• 证明二（组合意义）：添加虚点 \(0\) 并将钦定的 \(k\) 个点均接到 \(0\) 上，问题转换为指定点度数为 \(k\) 的 \(n+1\) 点生成树计数。
  通过除法原理，可以转换为任意 \(k\) 个点接到 \(0\) 上的方案数除以 \(\binom{n}{k}\)。
  因此方案数为：
  \[\frac{\binom{n-1}{k-1}n^{n-k-1}}{\binom{n}{k}}=k\cdot n^{n-k-1} \]

推论 2：指定点度数的生成树方案数为 \(\dfrac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}(d_i-1)!}\)。

有标号连通块计数

定理：若 \(n\) 个点已被连成大小为 \(\{s_i\}_{i=1}^{k}\) 的 \(k\) 个连通块，则在这些连通块之间加边构成生成树的方案数为 \(n^{k-2}\prod_{i=1}^{k}s_i\)。

证明：在连通块之间连边时，可以将这 \(k\) 个连通块视作点，枚举每个连通块 \(i\) 向外连出的边数量 \(d_i\)，则连边的总方案数为：

\[\begin{align*} &\sum_{\{d_i\}_{i=1}^{k}\mid \sum_{i=1}^{k}d_i=2(k-1)\vee\forall i,d_i\geq 1}\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\dots,d_k-1}\prod_{i=1}^{k}s_i^{d_i}\\ &=(\sum_{\{d_i\}_{i=1}^{k}\mid \sum_{i=1}^{k}d_i=2(k-1)\vee\forall i,d_i\geq 1}\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\dots,d_k-1}\prod_{i=1}^{k=1}s_i^{d_i-1})\cdot\prod_{i=1}^{k}s_i \end{align*} \]

发现括号中的式子为多元二项式展开多项式展开，因此可以进一步转化：

\[\begin{align*} (\sum_{\{d_i\}_{i=1}^{k}\mid \sum_{i=1}^{k}d_i=2(k-1)\vee\forall i,d_i\geq 1}\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\dots,d_k-1}\prod_{i=1}^{k=1}s_i^{d_i-1})\cdot\prod_{i=1}^{k}s_i&=(\sum_{i=1}^{k}s_i)^{k-1}\cdot\prod_{i=1}^{k}s_i\\ &=n^{k-2}\prod_{i=1}^{k}s_i \end{align*} \]

该结论使用 \(\text{Matrix Tree}\) 定理亦可证明，不展开赘述。