[Record] 随机游走问题入门题目

施工中……

线性随机游走

[Cnoi2020] 线形生物

关键点：期望线性性。

根据题意列出期望方程如下：

\[E(x\rightarrow x+1)=\dfrac{1}{d_x+1}\cdot 1+\dfrac{1}{d_x+1}\sum_{(x,y)\in\text{Edge}}(E(y\rightarrow x+1)+1) \]

其中 \(E(x\rightarrow y)\) 表示从 \(x\) 到 \(y\) 的期望步数，\(d_x\) 表示以 \(x\) 为起点的返祖边数量，\(\text{Edge}\) 表示返祖边集合。

根据期望的线性性，有 \(E(1\rightarrow y)=E(1\rightarrow x)+E(x\rightarrow y)\ (1\leq x<y\leq n+1)\)。

代入得：

\[\begin{align*} E(x\rightarrow x+1)&=\dfrac{1}{d_x+1}\cdot 1+\dfrac{1}{d_x+1}\sum_{(x,y)\in\text{Edge}}(E(x\rightarrow x+1)+E(1\rightarrow y)-E(1\rightarrow x)+1)\\ &=\dfrac{1}{d_x+1}\sum_{(x,y)\in\text{Edge}}(E(1\rightarrow y)-E(1\rightarrow x))+\frac{d_x}{d_x+1}E(x\rightarrow x+1)+1\\ \end{align*} \]

移项：

\[\begin{align*} \frac{1}{d_x+1}E(x\rightarrow x+1)&=\dfrac{1}{d_x+1}\sum_{(x,y)\in\text{Edge}}(E(1\rightarrow y)-E(1\rightarrow x))+1\\ E(x\rightarrow x+1)&=(d_x+1)+\sum_{(x,y)\in\text{Edge}}(E(1\rightarrow y)-E(1\rightarrow x)) \end{align*} \]

[北大集训 2021] 随机游走

关键点：几何分布。

很容易想到要是期望步数尽可能大，所有返祖边必须指回起点。

假设已知每个点 \(i\) 的返祖边数量为 \(b_i\)，根据伯努利试验的结论，设 \(E_i\) 为从起点走到 \(i\) 的期望步数，则有转移：

\[E_{i+1}=(b_i+1)(E_i+1) \]

然后考虑 \(b\) 数组，如果 \(m<n-1\)，显然给序列长度为 \(m\) 后缀每个节点分配 \(1\) 条边最优。

对于其他情况，感性理解打表可以发现最优方案：给 \(1\) 号点分配 \((\lfloor\dfrac{m}{n+1}\rfloor-1)\) 条边，其余点均匀分配剩下的边，若有剩余给后缀的每个点多分配 \(1\) 条边即可。

上面期望计算的式子可以化为后缀积的和的形式，有了 \(b\) 数组之后可以直接推式子求解或矩阵快速幂递推。

自动机随机游走

关键点：直接列出期望方程高斯消元。

[JSOI2009] 有趣的游戏

建出 \(\text{trie}\) 图，转换成在自动机上的随机游走模型。

发现考虑正推是不好做的，但是 \(\text{trie}\) 图上后继状态很容易确定，因而考虑概率倒推。

这样方程就很好设了，根据 \(\text{trie}\) 图上期望转移的权值设出方程高斯消元即可。

[SDOI2017] 硬币游戏

关键点：主元法。

发现是前一题的加强。找规律太玄学了，考虑主元法。

概率正推的转移为

\[P(u)=\frac{1}{2}\sum_{v\mid<v,u>\in \text{Edge}}P(v) \]

发现每个 \(u\) 转移内除了一个 \(\text{trie}\) 树上的父亲，其余点在 \(\text{trie}\) 上的深度均大于 \(u\)。

移项，表示出 \(u\) 的父亲

\[P(f_u)=2P(u)-\sum_{v\mid<v,u>\in\text{Edge}\vee v\not=f_u}P(v) \]

将每个关键点设成未知数，当两个关键点走到它们的最近公共祖先时，可以列出一个方程，这样可以列出 \(n-1\) 个方程。

又有 \(\sum_{u\in\text{Key}} P(u)=1\)，凑成 \(n\) 个方程。

Boring Problem

关键点：主元法。

和前两题不一样的是，这道题需要算到达关键点的步数期望，因此关键点的答案就是 \(E(u)=0\)，相当于需要在关键点处列出相应的方程。

需要正推，此时节点 \(u\) 边指向的节点，只有深度小于 \(u\) 的与 \(u\) 的儿子，那么当 \(u\) 只有一个儿子时，期望的转移是确定的，否则由于 \(\text{fail}\) 边的存在，不能直接确定所有儿子的信息，需要设元。

发现在 \(u\) 处设元表示不出所有儿子，因此当 \(u\) 有 \(k\) 个儿子时，选取其中 \(k-1\) 个设元，可以仿照上题推出剩余的儿子 \(v\) 被其余节点表达的式子。

因为

\[E(u)=(\sum_{v\mid <u,v>\in\text{Edge}}p(u,v)\cdot E(v))+1 \]

所以有

\[E(v)=\frac{E(u)-\sum_{w\mid<u,w>\in\text{Edge}\vee w\not=v}E(w)-1}{p(u,v)} \]

构造出系数矩阵按照 \(\text{bfs}\) 序转移，\(-\frac{1}{p(u,v)}\) 的常数移项到增广矩阵内即可。

网格图随机游走

关键点：直接列出期望方程高斯消元。

[ICPC 2014 WF] Pachinko

关键点：band-matrix 优化。

正常按照题意列出网格图期望方程，由于 \(w\leq 20\)，因此高斯消元矩阵构成带宽 \(d\leq 39\) 的 band-matrix，时间复杂度可以优化至 \(O(w^2h)\)。

Broken robot

关键点：band-matrix 优化。

根据题意列出期望方程（以不在边界上的格子为例）：

\[E(i,j)=\dfrac{E(i+1,j)+E(i,j-1)+E(i,j+1)+E(i,j)}{4}+1 \]

注意到只有 \(E(i+1,j)\) 在下一行，而其余变量均与 \(E(i,j)\) 在同一行，因此考虑自下而上逐行以此解方程，此时 \(E(i+1,j)\) 由于已经被解出，可以视作常量。

移项得到：

\[3E(i,j)-E(i,j-1)-E(i,j+1)=E(i+1,j)+4 \]

由于 \(E(i,j)\) 的方程只涉及到 \(E(i,j-1)\) 与 \(E(i,j+1)\)，因此高斯消元矩阵构成带宽 \(d=3\) 的 band-matrix，直接求解即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

树上随机游走

「NOI模拟」树上游走

关键点：树形期望 dp。

为了简化问题避免换根，可以直接将题目给定的 \(S\) 设为根节点。

容易发现这里的树形 dp 是一个类似插头的形式，可以设 \(f[u][0/1/2]\)，意义如下：

• \(f[u][0]\)：\(u\) 的父亲已被删除，且此时是第一次访问 \(u\)，此时的答案期望。
• \(f[u][1]\)：\(u\) 的父亲已被删除，且此时是第二次访问 \(u\)，此时的答案期望。
• \(f[u][2]\)：\(u\) 的父亲未被删除，则一定是第一次访问 \(u\)，此时不经过 \(u\) 的父亲的答案期望。

详细分讨转移即可。