[Notes] 图上组合优化问题

基本概念

独立集

点独立集

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(V'\subseteq V\) 满足 \(V'\) 中任意不相同的两点都不相邻，则 \(V'\) 为图 \(G\) 的一个点独立集。

• 点独立数：最大点独立集的大小，记作 \(\alpha_0(G)\)。

引理：对于任意图 \(G=(V,E)\)，若 \(\forall v\in V,\deg(v)\leq d\)，则 \(\alpha_0(G)\geq\dfrac{|V|}{d+1}\)。

边独立集

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(E'\subseteq E\) 满足 \(E'\) 中任意不相同的两边无公共端点，则 \(E'\) 为图 \(G\) 的一个边独立集。

• 边独立数：最大边独立集的大小，记作 \(\alpha_1(G)\)。

匹配

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(E'\subseteq E\) 满足 \(E'\) 中任意不相同的两边无公共端点且 \(E'\) 中不存在自环，则 \(E'\) 为图 \(G\) 的一个边独立集。

• 匹配数：最大匹配的大小，记作 \(\nu(G)\)。

• 完美匹配：使得图中所有点均饱和的匹配方案。

团

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(V'\subseteq V\) 满足 \(V'\) 中任意不相同的两点均相邻，则 \(V'\) 为图 \(G\) 的一个团。

• 最大团大小：记作 \(\omega(G)\)。

引理：图 \(G\) 的图与其补图的独立集一一对应。

定理：对于任意图 \(G\)，\(\omega(G)=\alpha_0(G)\)。

支配集

点支配集

无限图支配集：对于无向图 \(G=(V,E)\)，设 \(V'\subseteq V\)，如果对于任意 \(y\in(V-V')\)，都存在一个 \(x\in V'\)，使得 \((x,y)\in E\)，则 \(V'\) 为图 \(G\) 的一个点支配集。

• 点支配数：最小点支配集的大小，记作 \(\gamma_0(G)\)。

出/入-支配集：对于有向图 \(G=(V,E)\)，设 \(V'\subseteq V\)，如果对于任意 \(y\in(V-V')\)，都存在一个 \(x\in V'\)，使得 \((x,y)\in E\)，则 \(V'\) 为图 \(G\) 的一个出支配集；若如果对于任意 \(y\in(V-V')\)，都存在一个 \(x\in V'\)，使得 \((y,x)\in E\)，则 \(V'\) 为图 \(G\) 的一个入支配集。

• 出支配数：最小出支配集的大小，记作 \(\gamma^{+}(G)\)。

• 入支配数：最小入支配集的大小，记作 \(\gamma^{-}(G)\)。

定理 1（极小支配集判定）：图 \(G\) 的支配集 \(S\) 是 \(G\) 的极小点支配集，当且仅当 \(S\) 中任意节点均满足下列条件之一：

• \(\exists y\in V-S,\ N(y)\cap S=\{x\}\)
• \(S\cap N(x)\not=\varnothing\)
• (\(N(x)\) 表示 \(x\) 的邻域)

定理 2：若图 \(G\) 中无孤立点，\(S\) 为极小点支配集，则 \(\overline{S}=V-S\) 也为支配集。

定理 3：图 \(G\) 的一个点集 \(S\) 是一个独立支配集，当且仅当 \(S\) 是一个极大独立集。

• 推论：若无向图 \(G\) 中无孤立点，则 \(G\) 的极大点独立集都是极小支配集，逆命题不一定成立。

定理 4：对于任意图 \(G\)，\(\alpha_0(G)\geq \gamma_0(G)\)。

边支配集

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(E'\subseteq E\) 满足 \(\forall e\in (E-E')\) 都存在 \(E'\) 中的边与其有公共点，则 \(E'\) 为图 \(G'\) 的一个边支配集。

• 边支配数：最小边支配集的大小，记作 \(\gamma_1(G)\)。

覆盖

点覆盖

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(V'\subseteq V\) 满足 \(\forall e\in E\) 都有 \(e\) 的至少一个端点属于 \(V'\)，则 \(V'\) 为图 \(G\) 的一个点覆盖。

• 点覆盖数：最小点覆盖的大小，记作 \(\beta_0(G)\)。

引理 1：若图 \(G\) 中无孤立点，其点覆盖集必为点支配集，极小点覆盖集不一定为极小点支配集，支配集不一定是点覆盖集。

定理 1：图 \(G\) 的一个点集 \(S\) 是点覆盖集的充分必要条件是其补集 \(V-S\) 是点独立集。

• 推论：对于任意图 \(G\)，\(\alpha_0(G)+\beta_0(G)=|V(G)|\)。

定理 2：若图 \(G\) 中无孤立点，其最大匹配 \(M\) 中的所有端点组成的点集 \(V_M\) 是一个点覆盖集。

定理 3：对于任意图 \(G\)，\(\nu(G)\leq\beta_0(G)\)。

边覆盖

定义：对于图 \(G=(V,E)\)，若 \(E'\subseteq E\) 满足 \(\forall v\in V\) 都有 \(v\) 为 \(E'\) 中至少一条边的端点，则 \(E'\) 为图 \(G\) 的一个边覆盖。

• 边覆盖数：最小边覆盖的大小，记作 \(\beta_1(G)\)。

贪心构造：由于每条边至多覆盖两个点，因此考虑求出最大匹配使得覆盖两个点的边尽可能多，在此基础上补齐边覆盖未被覆盖的点即可。

定理 1：若图 \(G\) 中无自环，\(\beta_1(G)+\nu(G)=\beta_1(G)+\alpha_1(G)=|V(G)|\)。

定理 2：对于任意图 \(G\)，\(\nu(G)\leq\beta_1(G)\)，当且仅当 \(G\) 存在完美匹配时等号成立。

无向图匹配

无向图最大匹配

增广路

交错路径：起点为非匹配点，由匹配边和非匹配边交替构成。

增广路径：起点和终点均为非匹配点的交错路径。

对称差：两个集合 \(A,B\) 的对称差为 \(A\oplus B =(A-B)\cup(B-A)\)。

引理：若 \(M\) 为图 \(G\) 的一个匹配，\(P\) 为某条增广路径，则 \(|M\oplus P|=|M|+1\)。

增广路引理：若图 \(G\) 中不存在增广路径，则当前匹配 \(M\) 为图 \(G\) 的最大匹配。

关键边

关键边判定：设 \(M\) 为最大匹配，\(e\in M\) 且 \(e\) 不在任何偶交错路径或交错回路上，则边 \(e\) 为关键边。

可行边判定：设 \(M\) 为最大匹配，若 \(e\in M\) 或 \(e\) 在某条偶交错路径或交错回路上，则边 \(e\) 为可行边。

二分图最大匹配

匈牙利算法

算法过程：从二分图一部的每个点出发 \(\text{dfs}\) 寻找增广路径。

引理：匈牙利算法中每个点至多只会进行一次增广。

Hopcroft-Karp 算法

核心思想：使用多路增广的方式优化匈牙利算法，与 \(\text{Dinic}\) 等网络流求解匹配没有本质区别。

二分图完全匹配

完全匹配：设在带有二分划 \((V_1,V_2)\) 的二分图 \(G=(V, E)\) 中，\(M\) 为 \(G\) 的一个匹配且 \(V_1\) 中的所有点饱和，则 \(M\) 为图 \(G\) 中 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的完全匹配（又称完备匹配）。

Hall 定理

Hall 条件：\(\forall S\subseteq V, |S|\leq |N(S)|\)。

Hall 定理：带有二分划 \((V_1,V_2)\) 的二分图 \(G=(V, E)\) 中存在 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的完全匹配，当且仅当 \(V_1\) 满足 Hall 条件。

• 当 \(|V_1|=|V_2|\) 时，存在完美匹配。（霍尔婚姻定理）

二分图博弈

定义：给出一张二分图和起始点，\(A,B\) 两人轮流操作，每次只能选与上一个被选择的点相邻的点，且不能选择已经选择过的点，无法选点的人判负。

定理：二分图博弈中，如果最大匹配一定包含 \(H\)，那么 \(H\) 为必胜态，否则为必败态。

• 推论：如果未规定起始点 \(H\)，若最大匹配为完全匹配，先手必败，否则先手必胜。

二分图最佳匹配

最大权匹配：边权和最大的匹配。

最佳匹配：边权和最大的完美匹配。

最大权匹配转最佳匹配：将点数较少的集合补齐并添加边使得图被补为完全二分图，将原图中不存在的边边权设置为 \(0\)。

KM 算法

核心思想：通过不断调整顶点标号使得许可子图出现完美匹配。

标号：\(label(x)+label(y)=w(x,y)\)。

时间复杂度：\(O(|V|^4)\)。

二分图上组合优化问题

Kőnig 定理

引理：二分图 \(G\) 的一个最大匹配为 \(M\)，则一定可以构造出一个大小为 \(|M|\) 的点覆盖。

• 构造方法：从二分图 \(R\) 部所有未被匹配上的点出发，给所有交错可达的点打上标记。\(L\) 部的标记点+\(R\) 部的未标记点构成点覆盖。

Kőnig 定理：二分图 \(G\) 中，\(\nu(G)=\beta_0(G)\)。

最小点权覆盖集/最大点权独立集

算法：网络最大流求解即可。

DAG 最小路径覆盖

DAG 最小不相交路径覆盖

不相交路径覆盖：

• 每个顶点属于且只属于一条路径。
• 路径上除终点外每个点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。

算法：

• 将点 \(i\) 拆点为 \((x_i, y_i)\)，对于边 \((i,j)\)，连接 \((x_i, y_j)\)。
• 拼接数量等于边独立集的大小。
• 对于点 \(i\)：
  • 只有 \(x_i\) 被匹配，则 \(i\) 为某路径起点。
  • 只有 \(y_i\) 被匹配，则 \(i\) 为某路径终点。
  • 若 \(x_i,y_i\) 均被匹配，则 \(i\) 为某路径上的中介点。
• 中介点尽可能多，则路径数量就会尽可能少，因此求解二分图最大匹配即可。

DAG 最小可相交路径覆盖

算法：

• \(\text{Floyd}\) 求解出传递闭包后，若点 \(i,j\) 连通，则添加边 \((i,j)\)。
• 对加入了传递闭包的新图求解 DAG 最小不相交路径覆盖即可。

最小不相交环覆盖

算法：与 DAG 最小不相交路径覆盖原理类似，若最大匹配 \(M\) 为一个完美匹配，则最小不相交环覆盖存在。