[Notes] wqs 二分

参考 王钦石《浅析一类二分方法》。

凸性问题三例

Example 1

给定正整数序列 \(\{a_i\}_{i=1}^{n}\)，将其分为若干段，设每段元素和为 \(S_i\)，最小化 \(\sum S_i^2\)。

Solution：由于二次函数下凸，显然每一个数单独划分为一段答案最优。

Example 2

给定正整数序列 \(\{a_i\}_{i=1}^{n}\)，将其分为若干段，设每段元素和为 \(S_i\)，最小化 \(\sum(a\cdot S_i^2+b\cdot S_i+c)\)。

Solution：由于一次项与零次项的存在，将每个数单独划分不一定最优。容易设出朴素的动态 \(\text{dp}\) 方程 \(dp_i\) 表示前 \(i\) 个数的最优答案。可以根据二次函数的凸性，使用单调栈维护下凸壳，斜率优化解决。

Example 3

给定正整数序列 \(\{a_i\}_{i=1}^{n}\)，将其分为恰好 \(k\) 段，设每段元素和为 \(S_i\)，最小化 \(\sum S_i^2\)。

Solution：wqs 二分。

算法思想

\(\texttt{Example 3}\) 的核心问题在于 存在段数限制，在保留该限制的情况下，\(\text{dp}\) 始终存在二维状态，难以进一步优化。

考虑 \(\texttt{Example 2}\) 中的问题，相对于 \(\texttt{Example 1}\)，其引入了一次项与零次项系数 \(b,c\) 使得最优划分段数不为 \(k\)。若令 \(a=1,b=0\)，最优划分段数关于零次项系数 \(c\) 的取值 单调递减，这提示到 \(\texttt{Example 3}\) 可通过二分 \(c\)，转换到 \(\texttt{Example 2}\) 解决。

对于某个 \(c\)，设其在 \(\texttt{Example 2}\) 的答案为 \(f(c)\)，此时恰好将序列分为 \(k\) 段，则答案为 \(f(c)-k\cdot c\)。

原问题的凸性前提

对于上述过程中的一处观察“最优划分段数关于零次项系数 \(c\) 的取值单调递减”，结合代价函数的凸性，考虑其本质。

设划分段数为 \(x\) 时，最优答案为 \(g(x)\)，则在平面直角坐标系下，以 \(x\) 为横坐标，\(g(x)\) 为纵坐标，画出图像。

对于 \(\texttt{Example 3}\) 的问题，猜想图像为上凸壳，考虑证明：

要证图像为上凸壳，即证明 \(\forall i<j<k,\frac{g(i)-g(j)}{j-i}\geq\frac{g(j)-g(k)}{k-j}\)。

等价于证明 \(\forall i,g(i-1)-g(i)\leq g(i)-g(i+1)\)。

考虑在数列 \(\{a_i\}_{i=1}^{n}\) 之后添加正实数 \(x\)，记此时将数列分为 \(i\) 段的答案为 \(g(x,i)\)，记最优方案最后一段的最小决策点为 \(p(x, i)\)。

\(g(x, i)\) 关于 \(x\) 是连续的，且仅在最优方案中最后一段的长度不唯一处不可导。

此时有：

\[\frac{\text{d}\ g(x, i)}{\text{d}\ x}=x+\sum_{j=p(x,i)}^{n}a_j \]

由于代价函数为凸函数，根据决策单调性有 \(p(x,i)\leq p(x,i+1)\)，因此：

\[\frac{\text{d}\ g(x,i)}{\text{d}\ x}\geq \frac{\text{d}\ g(x,i+1)}{\text{d}\ x} \]

所以 \(g(x,i)-g(x,i+1)\) 关于 \(x\) 单调不降。

由于有：

\[\lim_{x\rightarrow 0}(g(x,i)-g(x,i+1))=g(i)-g(i+1) \]

\[\lim_{x\rightarrow \infty}(g(x,i)-g(x,i+1))=g(i-1)-g(i) \]

因此 \(g(i-1)-g(i)\leq g(x,i)-g(x,i+1)\leq g(i)-g(i+1)\)。

以这个上凸壳为例，用一条斜率为 \(c\) 的直线去切该凸壳，则切点横坐标随 \(c\) 值减小而增大。可以发现此时二分的斜率 \(c\) 就是前文所说的零次项系数。

由此归纳出 wqs 二分的使用前提：问题具有 凹凸性。

非严格凸壳的特殊判断

根据 \(x\) 与 \(g(x)\) 建出的凸壳不一定具有严格凸性，此时可能出现凸壳上横坐标为给定的 \(k\) 的点与多个点共线的情况，此时不能够准确地二分到 \(k\) 的位置，需要特判解决。

若 \(c=x\) 时，最优划分段数大于 \(k\)，而 \(c=x+1\) 时，最优划分段数小于 \(k\)，则说明斜率为 \(c\) 的直线与凸壳相切时存在多点共线，因此取 \(c=x+1\) 的答案即可。