拓展欧几里得算法

拓展欧几里得算法是用来解决不定方程的整数解的算法

最大公因数

众所周知，辗转相除法是解决两个数a,b的最大公因数的方法，记作gcd(a,b)

每次用a MOD b ，然后将b和模得的数再继续模下去，知道模数为0，也就是b|a

写成代码是：

int gcd(int a,int b){
	retrun b==0 ? a:gcd(b,a%b);
}

很简短吧

拓展欧几里得算法

现在才是本文的重点

对于一个关于x和y的方程ax+by=c，我们知道这是一个不定方程，也就是说它的解不唯一

我们只研究整数解的情况，那么这个方程要么没有整数解，要么有无数个整数解

如何解？

1、求解ax+by=gcd(a,b)

本人很弱，不会证明，所以只给出过程。

在gcd过程中，当b=0时，x=1,y=0

否则x=y',y=x'-(a/b)*y'

这里的除法为整除

下面是实现代码：

void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){
	if(b==0){d=a;x=1;y=0;}
	else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}

2、等式两边乘以c/gcd(a,b)

我们发现，当上一个方程进行这个操作之后，就会变成我们想要的方程的形式

a*x*c/gcd+b*y*c/gcd=c

为了保证整数，当c%gcd!=0时，方程无整数解

若有解，x=x*c/gcd,y=y*c/gcd

3、解的周期

令b0=b/gcd,a0=a/gcd;

那么

x'=x+k*b0

y'=y-k*a0

就是所有的解

其中x的最小整数解是(x%b0+b0)%b0

完整求x最小整数解代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){
	if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
	else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}

int main()
{
	int a,b,c,x,y,b0,d;
	cin>>a>>b>>c;
	exgcd(a,b,d,x,y);
	if(c%d) cout<<"No solution!"<<endl;
	else{
		x=x*c/d;
		b0=b/d;
		cout<<(x%b0+b0)%b0<<endl;
	}
	return 0;
}