K:求取两个数的最大公约数的两个算法

相关介绍:

 最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为gcd(a,b)。同样的,a,b,c的最大公约数记为gcd(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,这里介绍两种常见的算法,分别为辗转相除法和更相减损术。

辗转相除法:

 辗转相除法,又名欧几里得算法(Euclidean algorithm),目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法, 其可追溯至公元前300年前。

 这条算法基于一个定理:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25,25除以10商2余5,那么10和25的最大公约数,等同于10和5的最大公约数。

 我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。

 首先,我们先计算出a除以b的余数c,把问题转化成求出b和c的最大公约数;然后计算出b除以c的余数d,把问题转化成求出c和d的最大公约数;再然后计算出c除以d的余数e,把问题转化成求出d和e的最大公约数……

以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算,直到两个数可以整除,或者其中一个数减小到1为止。

示例代码:

public int getGreatestCommonDivisor(int numberA,int numberB)
{
    int result=1;
    if(numberA>numberB)
        result=gcd(numberA,numberB);
    else
        result=gcd(numberB,numberA)
    return result;
}
//用于递归的求解最大公约数
private int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b==0)
        return b;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

对于辗转相除法,当两个整数的值较大时,做a%b运算的性能会较低。但是当两个数的值相差较大时,其运行的计算的次数较少。

更相减损术:

 更相减损术,出自于中国古代的《九章算术》,也是一种求最大公约数的算法。

 他的原理更加简单:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如10和25,25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数,等同于10和15的最大公约数。

 由此,我们同样可以通过递归来简化问题。首先,我们先计算出a和b的差值c(假设a>b),把问题转化成求出b和c的最大公约数;然后计算出c和b的差值d(假设c>b),把问题转化成求出b和d的最大公约数;再然后计算出b和d的差值e(假设b>d),把问题转化成求出d和e的最大公约数……

以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算,直到两个数可以相等为止,最大公约数就是最终相等的两个数。

示例代码:

public int gcd(int numberA,int numberB)
{
    if(numberA==numberB)
        return numberA;
    if(numberA>numberB)
        return gcd(numberA-numberB,numberB);
    else
        return gcd(numberBa-numberA,numberA);
}

对于更相减损术,其依靠的是两数求差的方式来递归的,当其两个数相差悬殊的时候,递归调用进行计算的次数较多。

为此,考虑将辗转相除法和更相减损术这两个方法结合起来使用,可以达到更优的性能。我们可以发现,对于给定的正整数a和b,不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数:

  1. 当a和b均为偶数,gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

  2. 当a为偶数,b为奇数,gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

  3. 当a为奇数,b为偶数,gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

  4. 当a和b均为奇数,利用更相减损术运算一次,gcb(a,b) = gcb(b, a-b), 此时a-b必然是偶数,又可以继续进行移位运算。

比如计算10和25的最大公约数的步骤如下:

  1. 整数10通过移位,可以转换成求5和25的最大公约数

  2. 利用更相减损法,计算出25-5=20,转换成求5和20的最大公约数

  3. 整数20通过移位,可以转换成求5和10的最大公约数

  4. 整数10通过移位,可以转换成求5和5的最大公约数

  5. 利用更相减损法,因为两数相等,所以最大公约数是5

在两数比较小的时候,暂时看不出计算次数的优势,当两数越大,计算次数的节省就越明显。

示例代码如下:

public int gcd(int numberA,int numberB)
{
    if(numberA==numberB)
        return nmberA;
    //保证参数A用于大于等于参数B,为减少代码量
    if(numberA<numberB)
        return gcd(numberB,numberA);
    else
    {
        //和1做按位与运算,判断奇偶 if(numberA&1==0 && numberB&1==0)
            return gcd(numberA>>1,numberB>>1);
        else if(numberA&1==0 && numberB&1==1)
            return gcd(numberA>>1,numberB);
        else if(numberA&1==1&&numberB&1==0)
            return gcd(numberA,bumberB>>1);
        else
        return gcd(numberA,numberA-numberB);
    }
}

最后总结一下上述所有解法的时间复杂度:

  1. 辗转相除法:时间复杂度不太好计算,可以近似为O(log(min(a, b))),但是取模运算性能较差。

  2. 更相减损术:避免了取模运算,但是算法性能不稳定,最坏时间复杂度为O(max(a, b)))

  3. 更相减损术与移位结合:不但避免了取模运算,而且算法性能稳定,时间复杂度为O(log(max(a, b)))

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博文参考自:漫画算法:辗转相除法是什么鬼?

posted @ 2018-01-08 20:17  林学徒  阅读(...)  评论(...编辑  收藏