中国剩余定理
中国剩余定理
今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？
这是《孙子算经》中的一个问题，称为“孙子问题”。这个问题的一般解法称为中国剩余定理。具体解法分三步：
- 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
- 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
- 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。
古人是怎么想到这个方法的呢？
首先这个问题可以被抽象成这样：已知\(i\in [1, n]\)，x满足\(x=c_i \mod p_i\)，求出最小的x。
对于每个方程i，我们试图构造出一个\(A_i\)，使得\(A_i=c_i\mod p_i\)，同时\(A_{其他}=0\mod p_i\)，这样答案就是\(\sum A_i \mod p_1p_2\dots p_n\)。
设\(M_i=\frac{p_1p_2\dots p_n}{p_i}\)，\(invM_i=M_i^{-1}\mod p_i\)，那么Ai的公式就是\(A_i=M_i*invM_i*c_i\)。为什么这么构造？\(M_i=\frac{p_1p_2\dots p_n}{p_i}\)乘在Ai里，保证只有\(A_i\)不被\(p_i\)整除。再乘上\(M_i\)对于\(p_i\)的逆元，此时的\(A_i\) mod \(p_i\)就为1了。再乘上\(c_i\)，就可以满足方程\(A_i=c_i\mod p_i\)。
扩展中国剩余定理
来自大佬：https://blog.csdn.net/litble/article/details/75807726。
假设这里有两个方程：\(\begin{aligned} x=a_1*x_1+b_1 \\ x=a_2*x_2+b_2 \end{aligned}\)，它们的原方程是\(x=b_1 \mod a_1,x=b_2 \mod a_2\)。
那么合并一下两个方程，可以得到：\(a_1x_1-a_2x_2=b_2-b_1\ (gcd(a_1, a_2)\mid b_2-b_1)\)。还不赶快有请扩展欧几里得！（这幽默感学不来）
解出\(x_1\)后，就可以求出带入方程求出\(x=k \mod [a_1, a_2]\)，继续处理这个方程和下一个方程即可。
