组合数恒等式

组合数恒等式

本蒟蒻太弱了。。为了不误导。。这个博客仅供个人使用。。

排列数：在n个元素中选m个元素作为排列，排列数显然是\(n^{\underline m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)。

组合数：在n个元素中选出m个作为集合，不同的集合数为\(\binom{n}{m}\)。由于一个集合对应m个排列，一个排列唯一对应一个集合，\(\binom{n}{m}=\frac{n^{\underline m}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。

重复组合数：选m次，每次在n个元素中选出一个丢到可重集中，重复组合数就是不同的可重集数。我们可以想象n个格子，每次在n个格子中丢进一个数，总共丢m个数，这样的方案数就是重复组合数。利用插板法，n-1个板和m个数一起排列的方案数是\((m+n-1)!\)。又由于小球之间，隔板之间都是不区分的，因此排列数要除以\(m!(n-1)!\)，答案是\(\frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}=\binom{m+n-1}{m}\)。

组合数性质公式：

• \(\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)。这是由于，在n个元素中任选m个元素所构成的集合，总是对应另外n-m个元素组成的集合。因此，n选m的集合数就是n选n-m的集合数。

• \(\binom{n+1}{m}=\binom{n}{m}+\binom{n}{m-1}\)。n+1个元素中选m个数构成的集合有两种，一种是包含第n+1个元素的，数量为\(\binom{n}{m-1}\)。另一种是不包含第n+1个元素的集合，数量为\(\binom{n}{m}\)。因此，集合的总数量是\(\binom{n+1}{m}\)。

• 一些\(\binom{n}{m}\)递推到上一个/下一个组合数的公式，qwq不写了。

• 底不变顶变化：\(\binom{n+1}{r+1}=\binom{n}{r}+\binom{n-1}{r}+...+\binom{r+1}{r}+\binom{r}{r}\)。可以感性理解一下：先钦定第n+1个元素必选，那么剩下的集合数是\(\binom{n}{r}\)。再钦定第n+1个元素不选，第n个元素选，那么剩下的集合数就是\(\binom{n-1}{r}\)……以此类推即可。

• 顶不变底变化：\(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}=2^n\)。用二项式定理\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\)，那么\((1+1)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\)。形象的理解一下，可以理解为有n个0/1数，总共有\(2^n\)个状态，每个状态，相当于在n个数中选值为1的数。

• \(A=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+...=B=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...\)。用二项式定理：\(A+B=(1+1)^n,A-B=(1-1)^n=0\)，因此可得\(A=B=2^{n-1}\)。

  P.S：从这里可以看出二项式定理和组合数有着密切（？）联系。

• \(0\binom{n}{0}+1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+...+n\binom{n}{n}=n2^{n-1}\)。用类似于高斯求和的方法就行了。

• 类似于卷积的形式：\(\sum_{i=0}^r\binom{m}{i}\binom{n}{r-i}=\binom{n+m}{r}\)。相当于分别从n个元素和m个元素中取r个元素的一个组合，各项之和就是所有选法。它还有推论：\(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\)。