筛法求欧拉函数

题目

给定一个正整数 \(n\)，求 \(1 \sim n\) 中每个数的欧拉函数之和。

输入格式

共一行，包含一个整数 \(n\)。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 \(1 \sim n\) 中每个数的欧拉函数之和。

数据范围

\(1 \le n \le 10^6\)

输入样例：

6

输出样例：

12

题解

思路

我们利用欧拉筛法找出1~n中所有数的欧拉函数，由于欧拉筛法是线性的，所有数只会被筛一次，我们就可以在这个过程中计算每个数的欧拉函数

先回忆欧拉函数公式

\[ϕ(N) = N \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times … \times \frac{p_m-1}{p_m}​ \]

我们将每个数i分为三种

• 质数

  • i是质数, 那i的欧拉函数(也就是1~i与i互质的数) 有 i-1 个，因为i是质数，所以除了它自身，1 ~ i-1所有数都与他互质

• primes[j]是当前数i的质因子

  • 那根据当前数i筛到的primes[j] * i含有的质因子\(p_1 ... p_m\)均与i相同，原因是primes[j]可以将i整除，所以i自身也含有primes[j]这个质因子，那在primes[j] * i的欧拉函数公式中\(\frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times … \times \frac{p_m-1}{p_m}\)均与i的相同，公式中只有最前面的整数i变为了primes[j] * i，也就相当于在euler[i]的基础上多乘一个primes[j]

    if (i % primes[j] == 0) //如果primes[j]是i的质因子
                {
                    euler[primes[j] * i] = euler[i] * primes[j];
                    break; //当遍历到的数i可以被当前质因子整除 break，保证某一个数都被他的最小质因子整除
                }
    

• primes[j]不是当前数i的质因子

  • 那么数primes[j] * i就会在数i的基础上多一个质因子primes[j]，公式里相比euler[i]前面多了primes[j]，最后一项多了一个\(\frac{primes[j]-1}{primes[j]}\)

  • 把这两项多的乘起来化简一下：\(primes[j] * \frac{primes[j] - 1}{primes[j]} = primes[j] - 1\)

    //如果primes[j]不是i的质因子
                euler[primes[j] * i] = euler[i] * (primes[j] - 1);
    

    自此我们就将三种情况考虑完了

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

const int N = 1e6 + 10;

int primes[N], cnt;
bool st[N]; //标记1~n中的合数
int euler[N]; //存储每一个数i对应的欧拉函数值
int res;
int n;

//利用欧拉筛模板求欧拉函数的和
void gets_primes(int n)
{
    euler[1] = 1; //1的欧拉函数就是1
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if(!st[i]) //如果i是质数, 那i的欧拉函数(也就是1~i与i互质的数) 有i-1个，因为i是质数，所以除了它自身 1~i-1所有数都与他互质
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i]= i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) //遍历所有质数，筛去i*primes[j]
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) //如果primes[j]是i的质因子
            {
                euler[primes[j] * i] = euler[i] * primes[j];
                break; //当遍历到的数i可以被当前质因子整除 break，保证某一个数都被他的最小质因子整除
            }
            
            //如果primes[j]不是i的质因子
            euler[primes[j] * i] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n;
    
    gets_primes(n);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += euler[i]; //将1~n的欧拉函数加起来
    cout << res << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    solve();
    
    return 0;
}